У паралелограмі АВСД точка О - точка перетину діагоналей. Відомо, що периметр трикутника АОВ дорівнює 8 м, а периметр трикутника АОД - 9 м, і сума довжин суміжних сторін паралелограма дорівнює 7 м. Знайти добуток цих сторін паралелограма.
В ромбе сумма тупого и острого угла равна 180 градусам. Пусть острый угол x, а тупой y, тогда x+y =180 Рассмотрим правый треугольник, образованный двумя половинами сторон ромба и отрезком, соединяющим середины этих сторон. Он равнобедренный, т.к. его боковые стороны равны половине стороны ромба. Тогда сумма углов при основании равна 180 - x = y, а каждый угол равен y/2. Аналогично рассмотрим верхний треугольник, образованный двумя половинами сторон ромба и отрезком, соединяющим середины этих сторон. Он равнобедренной по той же причине, и сумма углов при основании равна 180 - y =x, а каждый угол равен x/2. Тогда угол α, образованный основаниями рассмотренных треугольников образует в сумме с углами x/2 и y/2 развернутый угол, т.е. α+x/2+y/2= 180, но x/2+y/2 = (x+y)/2 = 180/2 = 90, значит, α=180-90 = 90 Аналогично для остальных трех углов. А если у четырехугольника все углы прямые, то он является прямоугольником. (То, что стороны попарно равны, видно из равенства соответствующих треугольников, а т.к. углы прямые, то противоположные стороны параллельны).
по рисунку:
Paod=ao+od+ad =9
Paob=ao+ob+ab =8
так как OB=OD(диагонали точкой пересечения делятся пополам), то запишем так:
Paod=(ao+ob)+ad =9
Paob=(ao+ob)+ab =8
из этого выразим ad и ab
AB=8-(AO+OB)
AD=9-(AO+OB)
мы знаем, что AB+AD=7, тогда:
AB+AD= (8-(AO+OB)) + (9-(AO+OB))
7=17-2(AO+OB)
10=2(AO+OB)
AO+OB=5.
AB=8-5=3
AD=9-5=4
Осталось найти произведение смежных сторон:
3х4=12 см
ответ: 12 см