Пусть дан прямоугольный треугольник ABC: CB=15 см, AC=12 см. Точка M не лежит на (ABC) и находится в 5 сантиметрах от всех сторон треугольника. ОК-радиус вписанной окружности. Найдём AB = sqrt (корень) CB^2-AC^2 = 9 (см) Дальше решаем через формулу площади: S = p (полупериметр)*r (радиус - OK) Для начала найдём полупериметр и площадь по формуле Герона: p=(9+12+15)/2 = 18 см Sabc = sqrt p(p-a)(p-b)(b-c) = sqrt 18*(18-9)(18-12)(18-15)= 54 см^2 Sabc=pr 54=18*OK OK= 3 см Треугольник MOK: MK=5 см, OK= 3 см, угол O=90 градусов По т.Пифагора: MO=sqrtMK^2-OK^2 = sqrt 25-9= 4 см ответ: 4 см.
Центр окружности, описанной около прямоугольника, - точка пересечения диагоналей. Диагональ является его диаметром. Радиус равен половине диагонали. R = 10/2 = 5 см.
ΔАВС: по теореме Пифагора a² + b² = 100 ab = 48 площадь. Это система уравнений. Умножим второе уравнение на 2 и прибавим к первому: a² + 2ab + b² = 196 2ab = 96
(a + b)² = 196 ab = 48
a + b = 16 ab = 48
a = 16 - b b² - 16b + 48 = 0
По теореме Виета: b = 8 см или b = 6 см а = 6 см или а = 8 см Стороны прямоугольника 6 см и 8 см
Найдём AB = sqrt (корень) CB^2-AC^2 = 9 (см)
Дальше решаем через формулу площади: S = p (полупериметр)*r (радиус - OK)
Для начала найдём полупериметр и площадь по формуле Герона:
p=(9+12+15)/2 = 18 см
Sabc = sqrt p(p-a)(p-b)(b-c) = sqrt 18*(18-9)(18-12)(18-15)= 54 см^2
Sabc=pr
54=18*OK
OK= 3 см
Треугольник MOK: MK=5 см, OK= 3 см, угол O=90 градусов
По т.Пифагора:
MO=sqrtMK^2-OK^2 = sqrt 25-9= 4 см
ответ: 4 см.