Впрямоугольной трапеции меньшая боковая сторона равна 3 дм и составляет с меньшей диагональю угол 45 градусов. острый угол трапеции равен 45 градусов. найти площадь трапеции. ,
Проведем СН⊥AD. АВСН - квадрат (АВ = СН как расстояния между параллельными прямыми, АВ║СН как перпендикуляры к одной прямой, ∠ВАН = 90° и смежные стороны АВ и ВС равны) ⇒ СН = АВ = АН = ВС = 3 дм
Рассмотрим треугольники AKO и CMO. Они равны как прямоугольные треугольники по катету (KO=MO) и прилежащему острому углу (KOA=MAC как противоположные углы пересекающихся прямых). Следовательно высоты поделены точкой пересечения на равные отрезки, это свойство равнобедренного треугольника. Если этого мало, то треугольник AMC равен треугольнику CKA по двум катетам (MO=KO, MC=KA из предыдущего доказательства). Следовательно в них равны и углы КАС и МСА, которые являются углами при основании, а это значит что треугольник равнобедренный
решил выкласть решение. смотри рисунок. понятно, что отрезки катетов есть отрезки касательных, они равны. Сделаем все обозначения. гипотенуза будет 1) х+у=2R По т. Пифагора (x+r)²+(y+r)²=(x+y)² раскрывая, получаем r(x+y)+r²=xy подставляем сюда 1) и получаем xy=2Rr+r² из 1) выделяем у и подставляем, приводим и т.д. и получаем
x²-2Rx+(2Rr+r²)=0 D=4(R²-2Rr-r²) x=R+/- √(R²-2Rr-r²) но т.к. x≤R то тогда x=R- √(R²-2Rr-r²) ну а нижний катет желтого треугольника тогда равен √(R²-2Rr-r²) найдем гипотенузу желтого
r²+(√(R²-2Rr-r²) )²=z² z²=R²-2Rr z=√(R*(R-2r))
P.S. Здесь я не сделал исследование по поводу допустимых значений радиусов. Просто не захотел, т.к. удлиняет решение.
⇒ ΔАВС равнобедренный,
АВ = ВС = 3 дм
Проведем СН⊥AD. АВСН - квадрат (АВ = СН как расстояния между параллельными прямыми, АВ║СН как перпендикуляры к одной прямой, ∠ВАН = 90° и смежные стороны АВ и ВС равны)
⇒ СН = АВ = АН = ВС = 3 дм
ΔCHD: ∠CHD = 90°, ∠CDH = 45°, ⇒ ∠HCD = 45°, ⇒
ΔHCD - равнобедренный, СН = HD = 3 дм
AD = AH + HD = 3 + 3 = 6 дм
Sabcd = (AD + BC) /2 · CH = (6 + 3)/2 · 3 = 27/2 = 13,5 дм²