Question

Две окружности касаются внутренним образом в точке K, причём меньшая окружность проходит через центр O большей. Диаметр AB большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке C, отличной от K. Лучи KO и KC вторично пересекают большую окружность в точках D и E соответственно. Точка B лежит на дуге EK большей окружности, не содержащей точку D. а) Докажите, что прямые DE и AB параллельны.
б) Известно, что sin ∠KOB = $\frac{\sqrt{7} }{4}$. Прямые ДВ и ЕК пересекаются в точке L. Найдите отношение EL : LK.

Answer 1

Объяснение:

∠DEK  опирается на диаметр DK большой окружности.

∠ОВК опирается на диаметр ОК малой  окружности.

Все вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые. Следовательно,

∠DEK = ∠ОВК  = 90°. Из этого следует, что

DE ⊥EK и АВ ⊥ЕК.  

Теорема: если две прямые на плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны. Значит, DE ║ АВ, ч.т.д.

б) Так как DE ║ АВ, то ∠ВОК = ∠ЕDК как соответственные.

Диаметр АВ ⊥ЕК.   Если хорда перпендикулярна диаметру, то диаметр проходит через её середину, т.е.

ЕС = СК  и т. В - середина дуги ЕК  и, следовательно,

DB - биссектриса ∠EDK прямоугольного ΔDEK.

Теорема: Биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону в пропорции, равной отношению прилежащих к данному углу сторон, т.е.

ЕL : LK = DE : DK =   cos(∠KDE) =  cos(∠KOB) = √(1 - sin²(∠KOB) =

= √1 -7/16 = √9/16 = 3/4