Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см, а его основание 12 см. Найдите его площадь.
Биссектриса угла А параллелограмма ABCD делит сторону ВС на отрезки ВК и КС, равные соответственно 8 см и 4 см. Найдите периметр параллелограмма.
В трапеции ABCD углы А и В прямые. Диагональ АС — биссектриса угла А и равна 6 см. Найдите площадь трапеции, если угол CDA равен 60°.
В окружности проведены две хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке К, КС = 6 см, АК = 8 см, ВК + DK = 16 см. Найдите длины ВК и DK.
Квадрат со стороной 8 см описан около окружности. Найдите площадь прямоугольного треугольника с острым углом 30°, вписанного в данную окружность.
Объяснение:
необходимо доказать, что AP перпендикулярная BT (BE⊥AT будет аналогично, так как рисунок симметричный).
Обозначим точкой Q точку пересечения AP и BT и посмотрим, чему равны углы в этом треугольнике (помним, что сумма углов в треугольнике = 180°)
∠ABQ=∠ABT=∠ABC-∠TBC=90°-∠TBC
tg∠TBC=CT/CB=1/2 ⇒ ∠TBC=arctg(1/2) ⇒ ∠ABQ=90°-arctg(1/2)
∠QAB=∠TBC=arctg(1/2) (та же логика, что с ∠TBC)
Значит ∠ABQ+∠QAB=90°-arctg(1/2)+arctg(1/2)=90°
∠BQA=180°-(∠ABQ+∠QAB)=90° - что и требовалось доказать.