Параллельные плоскости а и в пересекают сторону ОА угла АОВ в точках А1,А2,а сторону ОВ-в точках В1,В2,соответственно. Найдите А1В1,если ОВ1=12см,ОВ2=18см,А2В2=54см
Так как параллельные плоскости пересекают угол в заданных точках, то линии пересечения А1В1 и А2В2 параллельны, а значит все точкиО, А1,В1,А2,В2 , лежат в одной плоскости . Тогда ΔОА1В1 и ΔОА2В2 подобны,то есть ОВ2/ОВ1 = А2В2 /А1В1, 18/12 = 54/А1В1
В тр-ках ABC и ACD опустим перпендикуляры на сторону AC. Очевидно, они упадудт в одну точку, т. к. тр-ки равнобедренные. Назовем эту точку H. В тр-ке BDH угол BDH - прямой (т. к. BD перпендикулярна плоскости ACD).
Найдем BH: в тр-ке ABC по т-ме Пифагора BH^2+6^2=4*21; BH=4*sqrt(3) //sqrt - это знак корня, т. е. 4 корня из трех.
Найдем AD: в тр-ке ADC по т-ме Пифагора 2*AD^2=12^2; AD=6*sqrt(2). //Не забываем, что AD=AC.
Найдем DH исходя из площади тр-ка ADC: DH*12=AD*AC; DH*12=36*2; DH=6.
В прямоугольном тр-ке BDH (угол BDH - прямой) гипотенуза равна 4*sqrt(3), а катет HD=6. Отсюда угол BHD=arccos(6/(4*sqrt(3))=arccos(sqrt(3)/2)=pi/6=30градусов.
ответ: 30 градусов.
2. Поступаем аналогично 1-й задаче: вначале опускаем перпендикуляры BH и DH на сторону AC. Далее по т-ме Пифагора находим DH:
DH^2=6^2+61; DH=sqrt(97) Далее по т-ме Пифагора находим BH: BH^2=10^2+6^2; BH=2sqrt(34).
Поскольку АВ = ВМ, то треуг-к АВМ равнобедренный, угол АМВ = МАВ = 30, тогда угол В = 120. АВ = СД как противолежащие стороны параллелограмма, значит КД = СД. Углы В = Д = 120 как противолежащие углы парал-ма. Треуг-к СДК равнобедренный, углы СКД = КСД = 30. Тогда угол АКС = 180 - 30 = 150. Если у параллелограмма один из углов равен 120, то другой, прилегающий к этой стороне равен 180 - 120 = 60. Значит угол ВСД = 60, тогда ВСК = 60 - 30 = 30 Урог ВАК = ВСД = 60. Углы четырехугольника АВСК: А = 60 В = 120 С = 30 К = 150.
ОВ2/ОВ1 = А2В2 /А1В1,
18/12 = 54/А1В1