Question

Вравнобедренном треугольнике abc основание ac=12, ab=bc=8. найти длину биссектрисы угла acb.

Answer 1

Есть готовая формуле, по ней 
$CC_{1}=\frac{\sqrt{12*8(12+8-8)(12+8+8)}}{12+8} = \frac{12\sqrt{14}}{5}$

Решение:
Найдем по теореме косинусов сам угол  $ACB$    
$8^2=8^2+12^2-2*8*12*cosACB\\ cosACB=\frac{3}{4}\\$
так как $CC_{1}$ биссектриса то углы 
$BCC_{1}=\frac{arccos\frac{3}{4}}{2}\\$
теперь пусть $BC_{1}=x\\ AC_{1}=8-x\\ CC_{1}=y$
тогда справедливы такие соотношения 
$x^2=8^2+y^2-16y*cos(\frac{arccos\frac{3}{4}}{2})\\ (8-x)^2= 12^2+y^2-24y* cos(\frac{arccos\frac{3}{4}}{2})\\$

Теперь преобразуем $cos(\frac{arccos\frac{3}{4}}{2})\\$
 по формуле половинного  аргумента 
$cos\frac{a}{2} = \sqrt{ \frac{1+cos(arccos\frac{3}{4})}{2}} =\sqrt{\frac{7}{8}}\\$
то есть нужно решить систему уравнения 
$x^2=64+y^2-16y*\sqrt{\frac{7}{8}}\\ (8-x)^2=144+y^2-24y\sqrt{\frac{7}{8}}\\ \\ (8-x)^2-x^2 = 80-8y\sqrt{\frac{7}{8}}\\ (8-2x)8=80-8y\sqrt{\frac{7}{8}}\\ 8-2x=10-y\sqrt{\frac{7}{8}}\\ -2x=2-y\sqrt{\frac{7}{8}}\\ x=\frac{2-y\sqrt{\frac{7}{8}}}{-2}\\$
подставим это соотношение в любое из уравнений 
$(\frac{2-y\sqrt{\frac{7}{8}}}{-2}) ^2=64+y^2-16y* \sqrt{\frac{7}{8}}\\ 4-4y \sqrt{\frac{7}{8}}+\frac{7y^2}{8}=4(64+y^2-16y*\sqrt{\frac{7}{8}})\\$
$4-4y \sqrt{\frac{7}{8}}+\frac{7y^2}{8}=4(64+y^2-16y*\sqrt{\frac{7}{8}})\\ 4-4y\sqrt{\frac{7}{8}}+\frac{7y^2}{8}=256+4y^2-64y\sqrt{\frac{7}{8}}\\ 252+4y^2-\frac{7y^2}{8}-60y\sqrt{\frac{7}{8}} = 0\\ \frac{25y^2}{8}-60y\sqrt{\frac{7}{8}} +252=0\\ D=(3600*7/8)-4*25/8*252=0\\ y=\frac{60* \sqrt{\frac{7}{8}}}{\frac{25}{4}}=\frac{12\sqrt{14}}{5}$