Question

Хорда окружности равна 6 корень из 2 и стягивает дугу в 90 градусов. найдите длину дуги и площадь соответствующего сектора.

Answer 1

Рассмотрим треугольник АВО. Он равнобедренный, т.к. ОА и ОВ - радиусы. ∠ОАВ=∠ОВА=(180-90)/2=45°. По теореме синусов:
$\frac{AO}{sinOBA} = \frac{AB}{sinAOB} \\ \frac{r}{sin45} = \frac{6 \sqrt{2} }{sin90} \\ \frac{r}{ \frac{ \sqrt{2} }{2} } =6 \sqrt{2} \\r=\frac{ \sqrt{2} }{2}*6 \sqrt{2}=6$.
Площадь сектора:
$S_ \alpha = \frac{ \alpha }{360} \pi r^2\\S_{90}= \frac{90}{360} \pi *36=9 \pi$
Длина дуги сектора:
$l_ \alpha = \frac{ \alpha }{360} *2 \pi r\\l_{90}= \frac{90}{360} *2 \pi *6=3 \pi$