А) • Если в равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, то высота данной трапеции равна полусумме оснований => СN = ( BC + AD ) / 2 = ( 7 + 23 ) / 2 = 30/2 = 15 • ND = ( 23 - 7 ) / 2 = 16 / 2 = 8 AN = AD - ND = 23 - 8 = 15 • Рассмотрим тр. СND (угол CND = 90°): По теореме Пифагора: CD^2 = CN^2 + ND^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289 CD = AB = 17 • Рассмотрим тр. АСD: S acd = ( 1/2 ) • CN • AD S acd = ( 1/2 ) • AM • CD => CN • AD = AM • CD AM = CN • AD / CD = 15 • 23 / 17 = 345 / 17 • Рассмотрим тр. АСN: По теореме Пифагора: АС^2 = СN^2 + AN^2 = 15^2 + 15^2 = 225 + 225 = 450 AC = 15V2 ( V - знак квадратного корня ) • Рассмотрим тр. АСМ: По теореме Пифагора: АС^2 = АМ^2 - СМ^2 = ( 15V2 )^2 - ( 345/17 )^2 = 450 - ( 345/ 17 )^2 = 11 025/289 AC = 105/17 • тр. СND подобен тр. СРМ угол NDC = угол СРМ sin NDC = CN/CD sin CPM = CM/CP => CN/CD = CM/CP => CP = CD • CM / CN = 17 • 105 / 17 • 15 = 105/15 = 7 NP = CN - CP = 15 - 7 = 8 • Рассмотрим тр. АРN: По теореме Пифагора: АР^2 = АN^2 + NP^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289 AP = 17 • Если в четырёхугольнике сумма противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность: АВ + СР = ВС + АР 17 + 7 = 7 + 17 24 = 24 Значит, в четырёхугольник АВСР можно вписать окружность, что и требовалось доказать.
Б) • Рассмотрим тр. ВСР: По теореме Пифагора: ВР^2 = ВС^2 + СР^2 = 7^2 + 7^2 = 49 + 49 = 49 • 2 ВР = 7V2 • Рассмотрим четырёхугольник АВСР: Если в четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны, то её площадь равна половине произведения его диагоналей => S abcp = АС • ВР / 2 = 15V2 • 7V2 / 2 = 15 • 7 = 105 • Площадь любого n - угольника рассчитывается по формуле: S = p • r где р - полупериметр, r - радиус вписанной окружности
Треугольник равнобедренный, поэтому медиана, опущенная на основание совпадает с высотой и может быть вычислена по теореме пифагора. квадрат(13)=квадрат(х)+квадрат(5). откуда х=12.
медианы опущенные на боковые стороны равны между собой - в силу симметрии треугольника. т.е. достаточно вычислить одну из них. для этого надо вспомнить формулу для вычисления медианы: Ма - медиана, опущенная на сторону а Ма=0,5*корень(2*в*в+2*с*с-а*а), где а,в,с-стороны треугольника У нас а=13 в=13 с=10 Ма=0,5*корень(2*13*13+2*10*10-13*13) = 1,5*корень(41)
А) • Если в равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, то высота данной трапеции равна полусумме оснований =>
СN = ( BC + AD ) / 2 = ( 7 + 23 ) / 2 = 30/2 = 15
• ND = ( 23 - 7 ) / 2 = 16 / 2 = 8
AN = AD - ND = 23 - 8 = 15
• Рассмотрим тр. СND (угол CND = 90°):
По теореме Пифагора:
CD^2 = CN^2 + ND^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289
CD = AB = 17
• Рассмотрим тр. АСD:
S acd = ( 1/2 ) • CN • AD
S acd = ( 1/2 ) • AM • CD =>
CN • AD = AM • CD
AM = CN • AD / CD = 15 • 23 / 17 = 345 / 17
• Рассмотрим тр. АСN:
По теореме Пифагора:
АС^2 = СN^2 + AN^2 = 15^2 + 15^2 = 225 + 225 = 450
AC = 15V2 ( V - знак квадратного корня )
• Рассмотрим тр. АСМ:
По теореме Пифагора:
АС^2 = АМ^2 - СМ^2 = ( 15V2 )^2 - ( 345/17 )^2 = 450 - ( 345/ 17 )^2 = 11 025/289
AC = 105/17
• тр. СND подобен тр. СРМ
угол NDC = угол СРМ
sin NDC = CN/CD
sin CPM = CM/CP =>
CN/CD = CM/CP =>
CP = CD • CM / CN = 17 • 105 / 17 • 15 = 105/15 = 7
NP = CN - CP = 15 - 7 = 8
• Рассмотрим тр. АРN:
По теореме Пифагора:
АР^2 = АN^2 + NP^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289
AP = 17
• Если в четырёхугольнике сумма противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность:
АВ + СР = ВС + АР
17 + 7 = 7 + 17
24 = 24
Значит, в четырёхугольник АВСР можно вписать окружность, что и требовалось доказать.
Б) • Рассмотрим тр. ВСР:
По теореме Пифагора:
ВР^2 = ВС^2 + СР^2 = 7^2 + 7^2 = 49 + 49 = 49 • 2
ВР = 7V2
• Рассмотрим четырёхугольник АВСР:
Если в четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны, то её площадь равна половине произведения его диагоналей =>
S abcp = АС • ВР / 2 = 15V2 • 7V2 / 2 = 15 • 7 = 105
• Площадь любого n - угольника рассчитывается по формуле:
S = p • r
где р - полупериметр, r - радиус вписанной окружности
ОТВЕТ: б) 35/8