Question

Втреугольнике авс медиана-ам ибиссектриса вк взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке е. найдите площать треугольника авс, если площадь треугольника екм, равна 4.

Answer 1

Нужно заметить то что треугольник АВM равнобедренный, потому что угол BEM = 90гр , и BE биссектриса, а это возможно в  равнобедренном треугольнике ⇒  значит BM=AB ⇒ AE=EM. По свойству биссектрисы 
$\frac{KC}{AK} = \frac{BC}{AB}\\ BC=2AB\\ \frac{KC}{AK}=2$
так как ВК биссектриса, обозначим $AE=EM=y\\ BM=AB=MC=x$
тогда $EK=\sqrt{x^2-y^2}\\ S_{EKM}=\frac{y*\sqrt{x^2-y^2}}{2}=4\\ y*\sqrt{x^2-y^2}=8\\$
и по формуле биссектрисы 
$2y=\frac{\sqrt{2(2x)^2+2x^2-(3x)^2}}{2}=\frac{|x|}{2}\\ 4y=x\\ y*\sqrt{16y^2-y^2}=8\\ 15y^4=64\\ y=\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt[4]{15}}\\ x=\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt[4]{15}}\\$
Найдем угол ABC 
$(\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt[4]{15}})^2=2(*\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt[4]{15}})^2-2(*\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt[4]{15}})^2*cos2a \\ cos2a=\frac{7}{8}\\ sin2a=\frac{ \sqrt{15}}{8}\\ S_{ABC}=\frac{(\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt[4]{15}})(*\frac{16\sqrt{2}}{\sqrt[4]{15}})}{2}*\frac{\sqrt{15}}{8}=16$