Обозначим трапецию через ABCD, где АD - длинное нижнее основание, ВС - короткое верхнее. Кроме того, обозначим через М середину нижнего основания АD, через N середину верхнего основания ВС, а через Е - точку касания окружности с боковой стороной АВ. Окружность касается верхнего и нижнего оснований в точках N и М.
Высота трапеции равна 24 (диаметру окружности).
Опустим из точки В перпендикуляр ВР на AD. Длина его тоже равна 24. Соответственно, по теореме Пифагора АР = sqrt(25^2 - 24^2) = 7.
Далее, AP = AM и BP = BN. Следовательно,
AP + BP = AM + BN,
или АВ = 25 = AM + BN. Но АМ = AP + PM = 7 + BN, поэтому 25 = 7 + 2 * BN, откуда BN = 9. Итак, имеем BC = 2 * BN = 18,
AD = 2 * AM = 2 * (7 + 9) = 32,
и площадь трапеции находится как произведение полусуммы оснований на высоту:
S = (32 + 18) * 24 / 2 = 600 см^2
Пусть коэффициент отношений диагоналей равен x.
Тогда короткая диагональ будет 2х, а длинная 7х.
Половина каждой из них будет х и 3,5х соответственно.
Из прямоугольного треугольника с гипотенузой, равное стороне ромба 53:4=13,25 и катетами х и 3,5х, равными половинами диагоналей, найдем по т.Пифагора величину х.
x^2+(3,5х)^2=(13,25)^2
13,25x^2=(13,25)^2
x^2=13,25
x=корень из 13,25
2х=2*корень из 13,25
7х=7*корень из 13,25
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
S=7*корень из 13,25*2*корень из 13,25 = 92,75
Высоту ромба найдем по формуле:
S=h*a
S=h*13,25
h=92,75:13,25 = 7
ответ: 7.