1) Поскольку этот четырехугольник вписанный, сумма его противоположных углов равна 180°
Угол D, противолежащий углу В=80, равен 100; угол С, противолежащий углу А=60, равен 120°
------------------
2)Вокруг трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда ее боковые стороны равны.
Если основание и боковые стороны трапеции равны, то один из треугольников, на которые диагонали делят трапецию, равнобедренный, основанием в нём является диагональ.
Треугольник ВСD равнобедренный, углы ВDС=СВD.
Угол ВСD=180-60=120°
Отсюда угол ВDС= СDВ= (180-60):2=30°.
Углы АВD и АСD равны 120-30=90°
Следовательно, треугольники АВD и ACD - прямоугольные.
Центр описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности лежит на середине его гипотенузы.
Из треугольника АКВ найдем АВ. Можно применить теорему Пифагора, но ясно видно, что это треугольник "египетский" ( стороны относятся как 3:4:5), и
АВ равна 5*3=15 см ( проверьте по Пифагору).
Итак, имеем основание АВ, высоту СД.
S=10*15:2=75 см²
2)
а)Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
б)Площадь ромба равна произведению высоты на его сторону.
а)S=dD:2=10*24:2=120 см²
б)S=ah
h=S:a
а=13 (прямоугольные треугольники, в которых катеты - половины диагоналей, а гипотенузы - стороны ромба - из троек Пифагора. Можно проверить по теореме Пифагора)
h=120/13
АК=120/13
-----------
Медиана треугольника делит его на два равновеликих ( их площади равны).
Площадь треугольника АОМ равна половине площади прямоугольного треугольника АОВ, площадь которого, в свою очередь, равна 1/4 площади ромба.
S AOM=S ABCD:4:2= 15 cм²