7. У рівносторонній трикутник вписано ромб, який має з ним спільний кут. а) Знайдіть периметр ромба, якщо периметр трикутника дорівнює 24 см; б) знайдіть довжини відрізків, на які вершини ромба ділять сторони трикутника.
Треугольник АВС, АВ=ВС, ВД-высота=медиане=биссектрисе=20, АС/АВ=4/3=4х/3х, АС=4х, АВ=3х, АД=СД=1/2АС=4х/2=2х, треугольник АВД прямоугольный, АВ в квадрате-АД в квадрате=ВД в квадрате, 9*х в квадрате-4*х в квадрате=400, х в квадрате=80, х=4*корень5, АД=2*4*корень5=8*корень5, АС=2*АД=2*8*корень5=16*корень5, АВ=3*4*корень5=12*корень5
площадь АВС=1/2*АС*ВД=1/2*16*корень5*20=160*корень5, полупериметрАВС=(12*корень5+12*корень5+16*корень5)/2=20*корень5,
Две прямые в трехмерном пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости и не параллельны. Значит диагонали А1В и В1С - скрещивающиеся прямые (дано). Угол между скрещивающимися прямыми – это угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны заданным скрещивающимся прямым. Перенесем В1С параллельно так, чтобы она проходила через точку А1. Прямые А1В и А1С2 теперь пересекающиеся и угол между ними - это угол С2А1В. Прямую В1С мы переносили параллельно, значит СС2 параллельна и равна ВА и ВС. Угол АСС2 равен углу ВАС, как внутренние накрест лежащие при параллельных ВА и СС2 и секущей АС. Но угол ВАС - угол равностороннего треугольника и равен 60°, так же как и угол ВСА. Следовательно, треугольник ВСС2 равнобедренный, в котором основание ВС2=2*(√3/2)а или ВС2=а√3, где а - сторона основания призмы (поскольку ВС2=2*ВН, где ВН - высота основания - равностороннего треугольника). Треугольник С2А1В - равнобедренный, с боковыми сторонами - диагоналями боковых сторон призмы, равными а√2 и основанием ВС2, равным а√3. Искомый угол найдем из теоремы косинусов: Cosα= (a²+b²-c²)/2ab, где α - угол между сторонами а и b. В нашем случае Cosα= (2a²+2а²-3а²)/(2а√2а√2) = 1/4 =0,25. Тогда сам угол α = arccos(0,25). или α≈75,5°.
Координатный метод: Привяжем призму к системе координат. пусть стороны нашего равностороннего треугольника равны 1. Тогда точка А1(0;1;1), точка В(0;0;0), точка B1(0;1;0), точка С(√3/2;0;1/2). Координаты вектора равны разности соответствующих координат точек его конца и начала. Значит BА1{0;1;1}, а B1C{√3/2;-1;1/2}. Угол между векторами А1В и В1С найдем по формуле: cosα=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/[√(x1²+y1²+z1²)*√(x2²+y2²+z2²)], или cosα=(0+(-1)+1/2)/[√(0²+1+1)*√(3/4+1+1/4)]= 1/4. Что, естественно, совпадает с чисто геометрическим вариантом, но насколько проще!
площадь АВС=1/2*АС*ВД=1/2*16*корень5*20=160*корень5, полупериметрАВС=(12*корень5+12*корень5+16*корень5)/2=20*корень5,
радиус вписанной=площадь/полупериметр=160*корень5/20*корень5=8