25 см і 30 см
Объяснение:
Нехай ΔАВС - рівнобедрений, АВ = ВС, ∠ВАС < 60°. Бісектриса AD ділить висоту BЕ на відрізки BF = 27,5 см і FE = 16,5 см.
Знайти довжину відрізків BD та DC.
Розв'язання:
За властивістю бісектриси: АВ : АЕ = BF : FE = 27,5 : 16,5 = 5 : 3.
За теоремою Піфагора для ΔАВЕ:
AB² = AE² + BE²
(5x)² = (3x)² + (27,5 + 16,5)²
25х² = 9х² + 44²
16х² = 44²
(4х)² = 44²
4х = 44
х = 11
Отже, АВ = 5·11 = 55 см, АЕ = 3·11 = 33 см.
ВС = АВ = 55 см, АС = 2·АЕ = 33·2 = 66 см.
За властивістю бісектриси: ВD : DC = AB : AC = 55 : 66 = 5 : 6.
Нехай ВD = 5х, DC = 6х. Складемо рівняння:
BD + DC = BC
5х + 6х = 55
11х = 55
х = 5
ВD = 5·5 = 25 см
DC = 6·5 = 30 см
↑АВ = (4 - 1 ; 2 - 6) = (3 ; - 4)
↑DC = (0 + 3 ; - 1 - 3) = (3 ; - 4)
↑BC = (0 - 4 ; - 1 - 2) = (- 4 ; - 3)
↑AD = (- 3 - 1 ; 3 - 6) = (- 4 ; - 3)
Векторы, лежащие на противоположных сторонах четырехугольника, равны, значит ABCD - параллелограмм.
|AB| = √(3² + (- 4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5
|AD| = √((- 4)² + (- 3)²) = √(16 + 9) = 5
Так длины смежных сторон параллелограмма равны, то это ромб.
↑AB · ↑AD = 3 · (- 4) + (- 4) · (- 3) = - 12 + 12 = 0
Так скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, то есть у ромба прямой угол, значит это - квадрат.