В равнобедренном треугольнике ABC основание AC равно 1, угол ABC=30 градусов. На сторонах AB, BC, CA взяты точки L, K, M соответственно. Пусть N – точка пересечения отрезков CL и KM. Известно, что KС = 1 и площадь треугольника KCN равна площади четырехугольника ALNM. Найдите угол LNK.
1)
Проведем диагональ NP. Треугольники PMN и PKN равны по трем сторонам - две по условию, третья - общая. .
Следовательно, углы при вершинах К и М равны. Угол К=100°
2)
Диагональ BD делит четырехугольник на треугольники ∆ ABD и ∆ CBD. В этих треугольниках стороны ВС=АD по условию, DB общая, углы между этими сторонами равны. ∆ ABD и ∆ CBD равны по первому признаку равенства треугольников.
Следовательно, стороны АВ=CD.
Если противоположные стороны четырехугольника равны, этот четырехугольник - параллелограмм. ⇒, АВ||CD. Доказано.