По один бік від прямої задано точки А і В. Відстань від середини відрізка АВ до прямої дорівнює 8 см. Знайти відстань від точки А до прямої, якщо відстань від точки В до прямої 11 см.
Решение на рисунке. Очень хорошая задача. Побольше бы таких, а то тут все больше - "найти синус по катету и гипотенузе :)))", я такие и не читаю.
ответ получается очень простой, и довольно странный - я пытаюсь представить себе, что будет, если точка D находится очень далеко от А (при фиксированном АВ, конечно). И не могу :(((
Суть решения такова.
Для начала считаем основания a и b заданными.
1. Находится связь между прощадью трапеции Sabcd и прощадью треугольника CMD, равной S. Тут можно сделать очень глупую ошибку. Точка М не лежит на диаметре окружности, перпендикулярном основаниям. Поэтому всё, что у нас есть - подобие треугольников МВС и МАD. Ясно, что их стороны пропорциональны основаниям.
Площадь трапеции равна половине произведения диагоналей, умноженной на синус угла между ними. Проще всего это увидеть, если построить треугольник BDE, как показано на чертеже. DE II AC. Площадь BDE равна площади трапеции (у них общая высота и одинаковые средние линии), а стороны у него - диагонали трапеции. Пользуясь этим, получаем
S = Sabcd *a*b/(a + b)^2;
2. Выражаем площадь трапеции через периметр и радиус вписанной окружности. При этом помним, что суммы противоположных сторон трапеции равны. Получаем
Sabcd = (a + b)*r;
3. Последнее необходимое соотношение получаем из треугольника АВК, где ВК II CD; При этом ВК = a + b - 2*r; АВ = 2*r; AK = a - b;
Из теоремы Пифагора для этого треугольника получаем
r = a*b/(a + b);
Собирая всё это, получаем
S = r^2;
Я пытался найти чисто геометрическое обоснование этому ответу, но не нашел.
Соотношение углов, образованных хордами окружности, а также соотношение пропорций четырехугольника, вписанного в окружность. Для решения этой геометрической задачи, потребуется вспомнить два утверждения: 1. Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами 2. Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.
Обозначим дуги BC=x; AD=y. Тогда (x+y)/2=68 и (x-y)/2=36 Домножим обе части обоих уравнений на 2 и сложим эти два уравнения. х=ВС=104. угол ВАС опирается на дугу ВС, значит сам угол меньше в 2 раза. ответ: угол ВАС равен 52 градуса.
Решение на рисунке. Очень хорошая задача. Побольше бы таких, а то тут все больше - "найти синус по катету и гипотенузе :)))", я такие и не читаю.
ответ получается очень простой, и довольно странный - я пытаюсь представить себе, что будет, если точка D находится очень далеко от А (при фиксированном АВ, конечно). И не могу :(((
Суть решения такова.
Для начала считаем основания a и b заданными.
1. Находится связь между прощадью трапеции Sabcd и прощадью треугольника CMD, равной S. Тут можно сделать очень глупую ошибку. Точка М не лежит на диаметре окружности, перпендикулярном основаниям. Поэтому всё, что у нас есть - подобие треугольников МВС и МАD. Ясно, что их стороны пропорциональны основаниям.
Площадь трапеции равна половине произведения диагоналей, умноженной на синус угла между ними. Проще всего это увидеть, если построить треугольник BDE, как показано на чертеже. DE II AC. Площадь BDE равна площади трапеции (у них общая высота и одинаковые средние линии), а стороны у него - диагонали трапеции. Пользуясь этим, получаем
S = Sabcd *a*b/(a + b)^2;
2. Выражаем площадь трапеции через периметр и радиус вписанной окружности. При этом помним, что суммы противоположных сторон трапеции равны. Получаем
Sabcd = (a + b)*r;
3. Последнее необходимое соотношение получаем из треугольника АВК, где ВК II CD; При этом ВК = a + b - 2*r; АВ = 2*r; AK = a - b;
Из теоремы Пифагора для этого треугольника получаем
r = a*b/(a + b);
Собирая всё это, получаем
S = r^2;
Я пытался найти чисто геометрическое обоснование этому ответу, но не нашел.