Question

Втреугольнике abc на стороне ав взяты точки m и n, а на сторонах bc и ac взяты точки p и q так что четырехугольник mnpq zskztncz параллелограммом, площадь которого составляет 4/9 площади треугольника abc, найдите длину cтороны ab если mn=1

Answer 1

Можно конечно эту задачу решить , через коэффициент подобия как то. Но можно еще так поступить .
Пусть наш треугольник $ABC$ , и точки $M,N$ на стороне  $AC$  , и точки  $Q,P$ на сторонах  $AB,BC$ соответственно . 
 Тогда очевидно что треугольники $BPQ$ и $ABC$  подобны друг другу. Так как $PQ||MN$ ,  выведем некие следствия из подобия: 
 $\frac{QP}{AB}=\frac{QC}{AC}=\frac{CP}{BC}$  , или же это соотношение можно записать так , выражая отрезки  
$\frac{QP}{AB}=\frac{CQ}{AQ+CQ}\\ \frac{QP}{AB}=\frac{CP}{CP+BP}\\$
Теперь выразим стороны $PQ,AB$  по теореме косинусов 
$CQ^2+CP^2-2*CQ*CP*cosC=1^2\\ AC^2+BC^2-2AC*BC*cosC=AB^2$
выражая с них  $cosC$  и приравнивая получим:
$\frac{(AM+NB+1)^2-(AQ+CQ)^2-(CP+PB)^2}{(AQ+CQ)(CP+BP)}=\frac{1-CQ^2-CP^2}{CQ*CP}$
сделаем замену для простоты и преобразуем эту часть
$AQ=x\\ QC=y\\ CP=z\\ BP=w\\ AM=g\\ NB=h \\ \frac{(g+h+1)^2-(x+y)^2-(z+w)^2}{(x+y)(z+w)}=\frac{1-y^2-z^2}{yz}\\ \frac{y}{x+y}=\frac{z}{z+w}\\ wy=zx\\ y=\frac{zx}{w}$
Теперь подставим в начальное выражение 
$\frac{(g+h+1)^2-(x+\frac{zx}{w})^2-(z+w)^2}{(x+\frac{zx}{w})(z+w)}-\frac{(1-\frac{zx}{w})^2-z^2}{\frac{z^2x}{w}}=0$
теперь разложим на множители , и затем приравнивая к 0 каждый многочлен получим 
$hz+gz-w=0\\ hz+gz+2z+w=0$
второй не подходит 
$hz+gz=w\\ h+g=\frac{w}{z}\\ AM+NB=\frac{BP}{CP}$  в дальнейшем это соотношение понадобится 
Теперь подставим еще раз в самое начальное выражение получим  
$(\frac{w}{z}+1)^2+(x+y)^2-(z+w)^2}{(x+y)(z+w)}-\frac{1-y^2-z^2}{yz}=0\\ z^3+wz^2-y^2z-xyz-z-w=0\\ z^3+wz^2-(\frac{zx}{w})^2*z-x*\frac{zx}{w}*z-z-w = 0\\ x^2z^2-w^2z^2+w^2=0\\ x^2z^2=w^2(z^2-1)\\$
Теперь заметим соотношение $\frac{xz}{w}=y\\$ тогда 
$y^2=z^2-1\\ y^2+1=z^2$ то есть  треугольник выходит прямоугольный при наличии именно определенного соотношения!  Тогда 
$CQP=90а$    тогда и $CAB=90а$                                        
 Найдем угол C 
$CP=\frac{QP}{sinC}\\ sinC=\frac{1}{CP}\\ QP=1\\ cosP=\frac{1}{CP}$
Теперь так как сам треугольник прямоугольный , то высота параллелограмма  $MNPQ$ будет сторона $AQ$, а так как площадь  параллелограмма равна основание на высоту опущенную на нее, то  площадь параллелограмма равна $S_{MNPK}=AQ*1=AQ$, и она равна 
$AQ=\frac{4S}{9}$ 
площадь прямоугольного треугольника АВС равна 
$\frac{AB*AC}{2}=\frac{9AQ}{4}\\ AB*AC=\frac{9AQ}{2}\\ (AQ+QC)(1+\frac{BP}{CP})=\frac{9AQ}{2}\\$ , но так как $\frac{BP}{CP}=\frac{AQ}{CQ}$ то 
 $\frac{9AQ}{2}=(AQ+CQ)(1+\frac{AQ}{CQ})\\$  с него следует 
$AQ=\frac{CQ}{2}\\$ . Тогда 
$2AQ=CQ\\ CQ+\frac{CQ}{2}=\frac{3CQ}{2}=AC\\ \frac{CQ}{\frac{3CQ}{2}}=\frac{2}{3}$ , то есть коэффициент подобия     равен $\frac{2}{3}<1$ верно ! тогда $\frac{1}{AB}=\frac{2}{3}\\ AB=1.5$