Question

Определите взаимное расположение прямой и плоскости $\frac{x - 13}{8} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 4}{3}$
и

$2x - y - 8z - 5 = 0$

Answer 1

Добрый день! Рассмотрим взаимное расположение прямой и плоскости, заданных уравнениями.

Первым шагом необходимо выразить параметрически уравнения для прямой и плоскости. Для прямой уравнение уже дано в параметрическом виде:

$\frac{x - 13}{8} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 4}{3}$

Для плоскости вначале перепишем уравнение в общем виде:

$2x - y - 8z - 5 = 0$

Подробнее:

1. Для прямой у нас есть три уравнения, которые связывают координаты точки на прямой:

$x - 13 = 8t$

$y - 1 = 2t$

$z - 4 = 3t$

Здесь t - параметр, полагаем его равным k.

2. Теперь выразим переменные x, y и z через t:

x = 13 + 8k

y = 1 + 2k

z = 4 + 3k

3. Подставим выражения для x, y и z в уравнение плоскости и получим выражение для k:

2(13 + 8k) - (1 + 2k) - 8(4 + 3k) - 5 = 0

26 + 16k - 1 - 2k - 32 - 24k - 5 = 0

14k - 12 = 0

14k = 12

k = 12/14

k = 6/7

4. Итак, мы получили значение параметра k. Подставим его обратно в выражения для x, y и z, чтобы получить точку пересечения прямой с плоскостью:

x = 13 + 8(6/7) = 13 + 48/7 = 91/7

y = 1 + 2(6/7) = 1 + 12/7 = 19/7

z = 4 + 3(6/7) = 4 + 18/7 = 46/7

5. Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости имеет координаты (91/7, 19/7, 46/7).

Теперь рассмотрим взаимное расположение:

Прямая и плоскость либо могут не иметь общих точек, либо иметь одну общую точку (пересекаться между собой). Вычислив точку, мы убедились, что она существует, то есть прямая и плоскость действительно пересекаются.

Ответ: Прямая и плоскость пересекаются и имеют одну общую точку (91/7, 19/7, 46/7).