Вшар вписан цилиндр, объем которого равен 96*п см3 площадь осевого сечения цилиндра равна 48 см2. вычислите: а) площадь сферы, ограничивающей шар; б) объем одного шарового сегмента, отсеченного плоскостью основания цилиндра.
Треугольники, образованные боковыми рёбрами, их проекциями на плоскость основания и высотой пирамиды, равны так как все они прямоугольные, боковые рёбра равны и высота пирамиды - общая для них сторона, значит проекции боровых рёбер равны. Проекции равны, значит основание высоты пирамиды равноудалено от вершин основания пирамиды, значит основание высоты пирамиды лежит в центре описанной около основания пирамиды окружности. Если центр описанной около треугольника окружности лежит на его стороне, то треугольник прямоугольный. По условию основание высоты пирамиды лежит на стороне основания, основание высоты - центр описанной окружности, значит в основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник. Доказано.
В прямоугольном треугольнике точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника делят эти стороны на пары РАВНЫХ касательных, проведенных из одной точки (вершины треугольника) к этой окружности. Кроме того, эти точки отделяют на катетах, считая от вершины прямого угла, отрезки, равные радиусу вписанной окружности. Тогда можно записать, что X+Y=10 и по Пифагору (X+2)²+(Y+2)²=100. Решаем эту систему методом подстановки: Y=10-X. X²+4x+4+(10-X)²+4(10-X)+4=100. Отсюда X²-10X+24=0. X1=6, Y1=4. X2=4, Y2=6. то есть катеты нашего треугольника равны 6см и 8см. Тогда S=(1/2)*6*8=24см² Р=6+8+10=24см. это ответ.
См. рисунок.
Осевое сечение цилиндра - прямоугольник АВСД, где АВ=СД – образующая (она же высота), ВС=АД - диаметр оснований.
S (ABCD)=ВС•АВ=2r•H
2r•H=48
r•H=24
V(цил)=πr²•H=πr•rH=24πr
24πr=96π =>
r=96:24=4 (см)
Тогда ВС=АД=8
АВ•АД=48 => АВ=6 (см)
Отношение катетов ∆ АВД =3:4, => ∆ АВД египетский, ВД=10 (см)
R (шара)=ВО=ОД=5 (см)
а) Ѕ (сферы)=4πR²=4•25π=100π (см²)
б) Формула объёма шарового сегмента
V-πh²•(3R-h):3
h=(D-H):2=(10-6):2=2
V(сегм)=π•4•(3•5-2):3=52π:3=17,34π см³