Question

3. Треугольная пирамида АВСD задана координатами своих вершин А(d; 0, -3). В(0, 3: с). С(-2, b, 3). D(2. -3, а) Найдите угол между прямой АД плоскостью АВС

Answer 1

Для нахождения угла между прямой АД и плоскостью АВС, нам понадобятся знания о векторах и их скалярном произведении.

Шаг 1: Найдем векторы, соединяющие вершины пирамиды АВСD.

Вектор АД можно найти как разницу координат двух точек:
AD = D - A = (2, -3, а) - (d, 0, -3) = (2-d, -3, а+3)

Шаг 2: Найдем нормальный вектор плоскости АВС.

Нормальный вектор плоскости можно найти по формуле, используя векторное произведение двух векторов, лежащих в этой плоскости. В этом случае, возьмем вектора AB и AC:

AB = B - A = (0, 3, c) - (d, 0, -3) = (-d, 3, c+3)
AC = C - A = (-2, b, 3) - (d, 0, -3) = (-2-d, b, 6)

Теперь вычислим векторное произведение AB и AC:
n = AB × AC

Вычисление векторного произведения:
n = (i, j, k)
n = ((3*(6+b))-(-3*(c+3)), (-2*(-d)-6*(-3)), ((-d)*(-12)-(-2)*(3*(c+3))))

Simplifying:
n = (18+3b+9c+d, -6d-6, 12d+6c-6)

Шаг 3: Найдем скалярное произведение векторов АД и n.

Скалярное произведение двух векторов можно найти по формуле:
AD · n = |AD| |n| cos(θ)

где |AD| и |n| - длины векторов AD и n соответственно, а θ - искомый угол.

Вычисление скалярного произведения:
AD · n = (2-d)(18+3b+9c+d) + (-3)(-6d-6) + (а+3)(12d+6c-6)

Simplifying:
AD · n = -3d - 3d^2 - 6 + 9b - 9c - 9d^2 + 3ad + 18 + 6b + 18c + 3ac - 6a + 12d + 6c - 6

AD · n = -6d^2 + 3ad - 9d^2 + 12d + 9b - 6a + 18 + 6b + 18c + 3ac - 9c + 3ad - 6

AD · n = -15d^2 + 6ad + 21b + 3ac + 9 + 6b + 18c - 9c - 6a

AD · n = -15d^2 + 6ad + 27b + 3ac + 18c - 6a + 9

Шаг 4: Найдем длины векторов AD и n.

Длина вектора AD можно найти по формуле:
|AD| = √((2-d)^2 + (-3)^2 + (а+3)^2)

Длина вектора n можно найти по формуле:
|n| = √((-15)^2 + 6^2 + 27^2 + 3^2 + 18^2)

Simplifying:
|AD| = √((4 - 4d + d^2) + 9 + (а+3)^2) = √(d^2 - 4d + 25 + а^2 + 6а + 9)
|n| = √(225 + 36 + 729 + 9 + 324) = √(1323)

Шаг 5: Найдем искомый угол θ.

Используя формулу AD · n = |AD| |n| cos(θ), подставим найденные значения:
-15d^2 + 6ad + 27b + 3ac + 18c - 6a + 9 = √(d^2 - 4d + 25 + а^2 + 6а + 9) √(1323) cos(θ)

Теперь можно решить это уравнение относительно cos(θ) и найти угол θ.

Извините, но точные значения угла и дополнительные значения переменных (d, a, b, c) не указаны в вопросе, поэтому не могу найти конкретный ответ. Но вы можете взять эти шаги и использовать их, чтобы найти значение угла, когда вам известны конкретные числа.