Question

В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром, равным 4 см и AC⌒BD=0, найдите: а) Значение угла между прямыми B1C и A1C;
б) Значение угла между плоскостями [AB1C] и [AA1C1];
в) Значение угла между прямой D1O и плоскостью [AB1C].

Answer 1

Прежде чем начать решать задачу, давайте разберемся с обозначениями:

- Куб ABCDA1B1C1D1: это означает, что у нас есть куб, у которого стороны обозначены буквами A, B, C, D, A1, B1, C1, D1.
- AC⌒BD=0: это означает, что вектор AC перпендикулярен вектору BD, то есть они образуют прямой угол.

Теперь перейдем к решению задачи:

а) Значение угла между прямыми B1C и A1C:

Для начала, давайте обратимся к кубу и найдем эти прямые. Буквы B1 и C соответствуют вершинам куба, а прямая B1C соединяет данные вершины.

Поскольку в кубе все стороны равны, значит ребро BC равно 4 см. Также, поскольку AC⌒BD=0, то BD является перпендикуляром к AC. Следовательно, у нас есть прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AC и катетом BC.

Мы знаем, что углы прямоугольного треугольника соотносятся по теореме Пифагора. Применяя эту теорему к треугольнику ABC, мы получаем:

AC^2 = AB^2 + BC^2

Так как сторона куба равна 4 см, то у нас:

AC^2 = 4^2 + 4^2
AC^2 = 16 + 16
AC^2 = 32

Теперь мы можем найти длину гипотенузы AC:

AC = sqrt(32)
AC = sqrt(16 * 2)
AC = 4 * sqrt(2)

Теперь перейдем к прямой B1C. Заметим, что сторона BC куба равна стороне B1C куба, а сторона BC равна 4 см.

Итак, у нас есть прямоугольный треугольник B1AC, и мы можем использовать соотношение сторон:

tan(угол B1AC) = BC / AC
tan(угол B1AC) = 4 / (4 * sqrt(2))
tan(угол B1AC) = 1 / sqrt(2)
tan(угол B1AC) = sqrt(2) / 2

Теперь найдем значение угла между прямыми B1C и A1C.

Чтобы найти значение угла, мы можем найти арктангенс (или обратную тангенс) от значения, которое мы получили:

угол B1C = arctan(tan(угол B1AC))
угол B1C = arctan(sqrt(2) / 2)

Используя калькулятор (или таблицы тригонометрических функций), получаем:

угол B1C = 45 градусов

Таким образом, значение угла между прямыми B1C и A1C составляет 45 градусов.

б) Значение угла между плоскостями [AB1C] и [AA1C1]:

Для того чтобы найти угол между плоскостями, нужно найти угол между их нормалями. Векторы нормалей плоскостей являются перпендикулярами к плоскостям.

Поскольку плоскость [AB1C] и плоскость [AA1C1] проходят через стороны куба ABCDA1B1C1D1, и мы знаем, что стороны куба являются перпендикулярными, то нормали обеих плоскостей должны быть перпендикулярны.

Заметим, что нормаль к плоскости [AB1C] будет параллельна прямой BC, а нормаль к плоскости [AA1C1] будет параллельна прямой AC.

Угол между прямыми BC и AC равен 90 градусов, так как AC⌒BD=0.

Таким образом, угол между векторами нормалей, и, следовательно, угол между плоскостями [AB1C] и [AA1C1] также равен 90 градусов.

в) Значение угла между прямой D1O и плоскостью [AB1C]:

Для того чтобы найти угол между прямой и плоскостью, нужно найти угол между прямой и нормалью к плоскости.

Заметим, что прямая D1O лежит в плоскости куба ABCDA1B1C1D1, поскольку она проходит через вершины D1 и O.

Таким образом, нормаль к плоскости [AB1C] будет перпендикулярна этой плоскости и, следовательно, перпендикулярна прямой D1O.

Угол между перпендикулярами равен 90 градусов.

Таким образом, угол между прямой D1O и плоскостью [AB1C] составляет 90 градусов.