Question

Вершины четырёхугольника имеют координаты P (−4; −4), R (−5; −2), S (−1; 0), T (0; −2).

1. Докажите, что данный четырёхугольник является прямоугольником ( ).
2. Найдите косинус угла между его диагоналями ( ).
3. Найдите площадь прямоугольника ( ).

Answer 1

1)Докажем,что данный четырёхугольник является прямоугольником.

1)ST=(0+1;-2-0)=(1;-2)

2)RP=(-4+5;-4+2)=(1;-2)

3)PS=(-1+5;0+2)=(4;2)

4)PT=(0+4;-2+4)=(4;2)

Координаты векторов равны,следовательно будут равны и их длины.

Теперь докажем,что углы данного четырёхугольника равны по 90 градусов.Ведь прямоугольник это такой четырехугольник,у которого все углы по 90 градусов.

1)PS*ST=(4*1)+(2*(-2))=4-4=0

2)PT*ST=(4*1)+(2*(-2))=4-4=0 =>

Углы STP u TSP= 90 градусов.

Значит и противоположные углы равно по 90 градусов.Данный четырёхугольник — прямоугольник.

2)RT=PS как диагонали прямоугольника.Найдем их длины:

|RT|= V(0+5)^2 + (-2+2)^2

|RT| =V25

|RT|= 5

|PS|= 5

Вычислим и координаты:

PS= (-1+4;0+4)=(3;4)

TR=(-5-0;-2+2)=(-5;0)

Вычислим косинус по формуле:

сos a = (a(вектор) * b(вектор))/ |а| * |b| = cos a = PS*TR / |PS|*|TR| = 3*(-5)+4*0 / 5*5 = — 3/5 = —0,6.

3)S= |PR|* |PT|

|PR| = V(-5+4)^2 + (-2+4)^2 = V5

|PT| = V(0+4)^2 + (-2+4)^2 = V20

S= V5*V20= V100 = 10

Для справки:

Не забудьте поставить векторы(стрелки) над буквенными выражениями.

V — это обозначение корня.

^2 — это обозначение степени 2.

/ — это палочка,обозначающая дробное выражение.