Боковое ребро является гипотенузой в треугольнике, где катеты - высота пирамиды и половина диагонали основания. Находим: - высоту пирамиды: Н = 10*cos 30° = 10*(√3/2) = 5√3 см. - половину диагонали основания: ОС = 10*sin 30° = 10*0.5 = 5 см.
Для нахождения двугранного угла найдём перпендикуляр из центра основания на ребро основания: ОК = ОС*cos 45° = 5*(√2 / 2) = 5√2 / 2. Отсюда тангенс двугранного угла при основании равен: tg α = H / OK = 5√3 / (5√2 / 2) = 2√3 / √2 = 2.44949. а угол равен: α = arc tg 2.44949 = 1.1832 радиан = 67.79235°.
В квадрате диагонали перпендикулярны друг другу. Если есть точка М(х₁ у₁) и прямая Ах + Ву + С = 0, то уравнение перпендикулярной прямой: А(у - у₁) - В(х - х₁) = 0. Подставляем известные данные: точка А(5;-4) и прямая - диагональ ВД: х - 7у - 8 = 0. Уравнение диагонали АС: 1*(у - (-4)) - (-7)*(х - 5) = 0. у + 4 + 7х - 35 = 0, АС: 7х + у - 31 = 0. Эта же прямая в виду уравнения с коэффициентом: у = -7х + 31.
В уравнении типа у = кх + в коэффициент к - это тангенс угла наклона прямой к оси "х". Стороны квадрата проходят под углом +45° и -45° к диагонали. Используем формулу тангенса суммы (разности) углов: . Используя к = -7 для АС, находим "к" для сторон АВ и АД:
Теперь переходим к уравнениям сторон. У параллельных прямых коэффициент к одинаков. Найдём координаты точки С, симметричной точка А относительно прямой ВД. Алгоритм решения : 1) Находим прямую (диагональ АС), которая перпендикулярна прямой ВД. 2) Находим точку К пересечения прямых - это будет центр квадрата. 3) Точка К является серединой отрезка АС. Нам известны координаты середины и одного из концов. По формулам координат середины отрезка находим точку С.
1) Уравнение АС найдено. 2) ВД: х - 7у - 8 = 0 -7х + 49у + 56 = 0 АС: 7х + у - 31 = 0 7х + у - 31 = 0 -------------------------- 50у + 25 = 0 у = -25 / 50 = -1/2. х = 7у + 8 = 7*(-1/2) + 8 = -3,5 + 8 = 4,5. Получили координаты точки К(4,5; -0,5).
.
Находим:
- высоту пирамиды: Н = 10*cos 30° = 10*(√3/2) = 5√3 см.
- половину диагонали основания: ОС = 10*sin 30° = 10*0.5 = 5 см.
Для нахождения двугранного угла найдём перпендикуляр из центра основания на ребро основания:
ОК = ОС*cos 45° = 5*(√2 / 2) = 5√2 / 2.
Отсюда тангенс двугранного угла при основании равен:
tg α = H / OK = 5√3 / (5√2 / 2) = 2√3 / √2 = 2.44949.
а угол равен: α = arc tg 2.44949 = 1.1832 радиан = 67.79235°.