Question

4. В равнобедренном треугольнике АВС точки К и Е - середины боковых сторон АВ и ВС соответственно. BD - биссектриса треугольника. Докажи, что a) треугольники AKD и CED равны б) треугольники BKD и BED равны

Answer 1

Для доказательства равенства треугольников AKD и CED, и треугольников BKD и BED мы можем использовать свойства равнобедренных треугольников и свойства биссектрисы. Давайте посмотрим на каждое утверждение подробнее.

a) Треугольники AKD и CED равны:
1. Прежде всего, мы можем заметить, что AK и CE являются высотами треугольников AKD и CED соответственно, так как К и Е - середины боковых сторон АВ и ВС.
2. Мы также можем увидеть, что Треугольники АКВ и CKВ равнобедренные, так как АК = КV и CK = KV.
3. Так как углы АКВ и АКД равны, поскольку они принадлежат базе АК и углы СКВ и СКЕ равны, поскольку они принадлежат базе СК, мы можем сделать вывод, что углы АКВ и СКВ, а также углы АКД и СКЕ равны.

Таким образом, у нас есть:
- АК = СК (по свойству серединной линии треугольника)
- КА = КС (по свойству равнобедренных треугольников)
- Угол АКВ = Угол СКВ (по свойству равенства углов)
- Угол АКД = Угол СКЕ (по свойству равенства углов)

Таким образом, по критерию равенства треугольников (СИП), треугольники AKD и CED равны.

b) Треугольники BKD и BED равны:
1. Здесь также мы можем заметить, что BK и BE являются высотами треугольников BKD и BED соответственно, так как К и Е - середины боковых сторон АВ и ВС.
2. Мы также можем увидеть, что треугольники АКВ и CKВ равнобедренные, так как АК = КV и CK = KV, и треугольники BKC и BVD равнобедренные, так как BK = KV и BV = KV.
3. Так как углы АКВ и АКД равны, поскольку они принадлежат базе АК и углы СКВ и СКЕ равны, поскольку они принадлежат базе СК, и углы BKC и BKD равны, так как они принадлежат общей базе BK, мы можем сделать вывод, что углы АКВ, СКВ, BKC и углы АКД, СКЕ, BKD равны.

Таким образом, у нас есть:
- АК = СК (по свойству серединной линии треугольника)
- КА = КС (по свойству равнобедренных треугольников)
- Угол АКВ = Угол СКВ (по свойству равенства углов)
- Угол АКД = Угол СКЕ (по свойству равенства углов)
- Угол BKC = Угол BKD (по свойству равенства углов)

Таким образом, по критерию равенства треугольников (СИП), треугольники BKD и BED равны.

Таким образом, мы доказали, что треугольники AKD и CED равны, а также треугольники BKD и BED равны с использованием свойств равнобедренных треугольников и свойств биссектрисы.