Даны координаты вершин пирамиды АВСД.
A(5, -1,-4); В(9,3,-6); С(7,10,-14); Д(5,1,-3)
Требуется:
1) Записать векторы АВ, АС и АД в системе орт и найти модули этих векторов.
2) Найти угол между векторами АВ, АС .
3) Найти проекцию вектора АД на вектор АВ.
4) Найти площадь грани АВС.
5) Найти высоту пирамиды, проведенной из вершины С (двумя ).
6) Найти объем пирамиды.
7) Найти каноническое уравнение прямой, проходящей через точку Д перпендикулярно
плоскости АВС.
8) Найти точки пересечения полученной прямой с плоскостью АВС и с координатными
плоскостями xOy; xOz; yOz.
9) Найти уравнение плоскости, проходящей через точку Д и С перпендикулярно плоскости
АВС.
Линейный угол двугранного угла - это угол, образованный двумя лучами, которые имеют общее начало, лежащее на ребре двугранного угла, и проведенными в обеих гранях перпендикулярно этому ребру.
Обе плоскости сечения содержат в себе диагональ куба А1С, которая является линией их пересечения.
Соотношение линейных величин у кубов одинаковы.
Пусть данный куб единичный, где его ребро равно 1.
Тогда его диагональ А1С по формуле диагонали куба равна √3, а диагональ его грани равна √2.
А1С=√3 А1В=√2
Искомый угол ∠В1КН, где В1К - высота треугольник аА1В1С.
В1Н - перпендикуляр из В1 на плоскость А1СВ, в частности, В1Н перпендикулярен А1В.
Из треугольник аА1В1С найдем В1К.
Треугольники А1В1С и КВ1С подобны.
А1В1:В1К=А1С:В1С
1/В1К=√3/√2
Грани куба - равные квадраты.
Диагонали квадрата перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
В1Н ⊥ А1В, ⇒ является половиной диагонали грани куба и равна ( √2):2
В1К ⊥ А1С, НК ⊥ А1С.
Треугольник В1НК - прямоугольный.
cos ∠ НВ1К=В1Н:В1К
cos ∠НВ1К=(√2/2):√2/√3=√3/2, и это косинус угла 30º.
Значит, угол В1КН, как второй острый угол прямоугольного треугольника, равен 90º-30º=60º