Задание 1 Отрезок MN длиной 36 см точкой А разделен на отрезки MА и АN , отношение которых равно 3 к 6. Найдите длины отрезков MА и АN.
Задание 2
Параллельные прямые пересекают одну угла S в точка A и C , другую – в точках B и D. Найдите SA, если SA+SC= 36 см SB= 18см, SD= 14см.
Задание 3
Отрезок GA-биссектриса треугольника FGH. Найдите сторону FA , учитывая, что FG:GH=5:6, AH-AF=7 см.
Задание 4
Стороны АВ и АС треугольника АВС равны соответственно 10 см и 15 см. Через точку D биссектрисы AD параллельно стороне АВ проведена прямая, которая пересекает сторону АС в точке E. Найдите отрезки EA и EC.
Я продлеваю перпендикуляры HK и HM за точку H до пересечения с BA в точке A1 и BC в точке C1 (ну, точки лежат на продолжениях... из за того, что ∠ABC острый, эти точки есть и лежат где положено :) )
Для треугольника A1BC1 H - точка пересечения высот (ну двух-то точно :) - A1M и C1K), поэтому A1C1 перпендикулярно BH, и, следовательно, параллельно AC;
то есть ∠BAC = ∠BA1C;
Точки K и M лежат на окружности, построенной на A1C1, как на диаметре, поэтому
∠BA1C + ∠KMC = 180°; как противоположные углы вписанного четырехугольника. Или, что же самое, ∠BA1C = ∠BMK;
следовательно ∠BAC = ∠BMK;
и треугольники ABC и BMK имеют равные углы. То есть, подобны.
Следствие, которое важнее задачи :) Четырехугольник AKMC - вписанный. То есть через эти 4 точки можно провести окружность.
Дополнение. Тривиальный решения тут такой.
∠KHB = ∠A; ∠MHB = ∠C;
BK = BH*sin(A) = BC*sin(C)*sin(A);
BM = BH*sin(C) = BA*sin(A)*sin(C);
То есть у треугольников ABC и MBK угол B общий, и стороны общего угла пропорциональны BM/BA = BK/BC = sin(A)*sin(B); значит треугольники подобны.
коэффициент подобия sin(A)*sin(C), что тоже полезное следствие.