Биссектрисы внутренних односторонних углов взаимно перпендикулярны, поэтому этот четырехугольник - заведомо прямоугольник. Чтобы он был квадратом, достаточно доказать равенство смежных сторон. Это можно сделать многими например, так. Квадрат отличается от произвольного прямоугольника тем, что симметричен относительно диагоналей. То есть он переходит в себя при зеркальном отражении относительно прямой, проходящей через противоположные вершины. Легко увидеть, что: У полученного прямоугольника противоположные вершины лежат на прямых, проходящих через середины противоположных сторон ИСХОДНОГО прямоугольника. Поскольку ИСХОДНЫЙ прямоугольник переходит в себя при отражении относительно этих прямых, то и ПОЛУЧЕННЫЙ при пересечении биссектрис прямоугольник тоже симметричен относительно этих прямых (то есть переходит в себя при отражении), то есть - относительно своих диагоналей. То есть это квадрат.
Я напоминаю, что совпадение фигур при смещении, повороте или зеркальном отражении - это ОПРЕДЕЛЕНИЕ равенства. Самое первичное. Так сказать, наиглавнейшее. Поэтому это доказательство опирается только на определение равенства фигур и на свойства параллельных и секущей.
Пусть ABCD -трапеция , AD || BC , BC< AD ; P(ABCD) =20 ,S((ABCD) =20 . трапецию можно вписать окружность; MN ⊥ AD ; O ∈ [ MN ], O -пересечения диагоналей(MN проходит через O). M∈ [AD] ,N∈ [BC].
ON -?
S =(AB +BC) /2 *H ,где H - высота трапеции . По условию задачи трапеция описана окружности , следовательно : AD+BC =(AB +CD) = P/2 =20/2 =10. AB =CD =5 ; S =(AB +BC) /2 *H ; 20 =5*H ⇒ H =4. Проведем BE ⊥AD и CF ⊥ AD, AE =DF =√(AB² -BE)² =√(AB² -H²) =√(5² -4²) =3 . AD -BC =2*3 =6. { AD -BC =6 ; AD +BC =10 ⇒AD =8 ; BC =2. ΔAOD подобен ΔCOB : BC/AD =ON/ OM ⇔BC/AD =ON/ (H -ON) . 2/8 =ON/ (4 -ON) ⇒ON =0,8.
Поскольку MP II AB; то ∠MPB = ∠PBA; а так как BP - биссектриса ∠ABC; то ∠MPB = ∠PBA = ∠PBC; следовательно, треугольник BMP равнобедренный, MB = MP; Если теперь вспомнить (именно в этот момент :) ), что точка M - центр окружности, описанной вокруг ABC, то есть MB = MC = MA; то это значит, что точка P тоже лежит на описанной окружности. Получается, что ∠ACP и ∠ABP оба вписанные в окружность, описанную вокруг треугольника ABC и опираются на дугу AP этой окружности. Поэтому они равны. Очевидно, что ∠ABP равен половине ∠ABC; поэтому ответ ∠ACP = 32,5°
Квадрат отличается от произвольного прямоугольника тем, что симметричен относительно диагоналей. То есть он переходит в себя при зеркальном отражении относительно прямой, проходящей через противоположные вершины.
Легко увидеть, что:
У полученного прямоугольника противоположные вершины лежат на прямых, проходящих через середины противоположных сторон ИСХОДНОГО прямоугольника.
Поскольку ИСХОДНЫЙ прямоугольник переходит в себя при отражении относительно этих прямых, то и ПОЛУЧЕННЫЙ при пересечении биссектрис прямоугольник тоже симметричен относительно этих прямых (то есть переходит в себя при отражении), то есть - относительно своих диагоналей.
То есть это квадрат.
Я напоминаю, что совпадение фигур при смещении, повороте или зеркальном отражении - это ОПРЕДЕЛЕНИЕ равенства. Самое первичное. Так сказать, наиглавнейшее. Поэтому это доказательство опирается только на определение равенства фигур и на свойства параллельных и секущей.