Question

Точки М и К - середины сторон АВ и ВС треугольника АВС соответственно. Подобны ли треугольники АВС и МВК ? ответ обоснуйте. В случае утвердительного ответа укажите коэффициент подобия.

Answer 1

Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно рассмотреть свойства серединных перпендикуляров.

1. Начнем с построения серединных перпендикуляров. Отметим точку L на стороне BC так, чтобы LM был перпендикулярным к AB. Сделаем тоже самое для стороны AC и точки N.

Теперь у нас есть три серединных перпендикуляра - AM, BL и CN.

2. Свойство серединных перпендикуляров гласит, что они проходят через центр окружности, описанной вокруг треугольника ABC. Обозначим центр этой окружности как O.

3. Еще одно свойство серединных перпендикуляров гласит, что они равны по длине. То есть, AM = BL = CN.

4. Так как M и К являются серединами сторон AB и BC соответственно, то вершины треугольника МВК являются серединными точками сторон треугольника ABC.

Теперь, используя эти свойства, докажем подобие треугольников АВС и МВК:

Для этого рассмотрим соответствующие стороны треугольников:

Сторона АВ треугольника АВС соответствует стороне МК треугольника МВК.
Сторона ВС треугольника АВС соответствует стороне ВК треугольника МВК.
Сторона АС треугольника АВС соответствует стороне МВ треугольника МВК.

Мы заметим, что стороны треугольника МВК равны соответствующим сторонам треугольника АВС, умноженным на коэффициент 1/2.

То есть, сторона МК = (1/2) * сторона АВ
сторона ВК = (1/2) * сторона ВС
сторона МВ = (1/2) * сторона АС

Если мы сравним стороны треугольников МВК и АВС, то заметим, что они пропорциональны с коэффициентом 1/2.

Следовательно, треугольник МВК подобен треугольнику АВС с коэффициентом подобия 1/2.