Задание №4. В треугольнике PQR точка L пересечение медиан PA и QВ. Окружность, описанная около треугольника RAB, проходит через точку L. Найдите Длину медианы, проведённой из вершины R, если PQ =18.
Угадаем ответ. В равностороннем треугольнике медианы являются высотами, углы PAR и QBR прямые, четырехугольник RALB вписанный, условие задачи выполнено. RC=√3/2 PQ
Периметр треугольника KLM = MK + ML + KL По условию KL = KC + LC Отрезки касательных проведенные из одной и той же точки к одной и той же окружности равны. Тогда KC = KA LC = LB Следовательно KL = KC + LC = KA + LB Подставим это в первое равенство Периметр треугольника KLM = MK + ML + KL = = MK + ML + KA + LB = = MK + KA + ML + LB Очевидно что MK + KA = MA ML + LB = MB Тогда Периметр треугольника KLM = MK + ML + KL = MA + MB Последнее выражение (MA + MB ) не зависит от С Следовательно периметр треугольника KLM не зависит от выбора точки С что и требовалось доказать.
Угадаем ответ. В равностороннем треугольнике медианы являются высотами, углы PAR и QBR прямые, четырехугольник RALB вписанный, условие задачи выполнено. RC=√3/2 PQ
AB||PQ (средняя линия)
∠BAP=∠APQ (накрест лежащие)
∠BAL=∠BRL (вписанные)
=> ∠LPC=∠PRC
△LPC~△PRC (по двум углам)
PC/RC =LC/PC
PC=PQ/2, LC=RC/3 (медианы делятся 2:1)
=> PQ/2 :RC =RC/3 :PQ/2 => RC =√3/2 PQ =9√3