1)Пирамида ABCD (D - верхняя вершина, из которой опущена высота в точку О).
Точка О является центром вписанной и описанной окружностей.
Плоский угол DNO - линейный угол двугранного угла (N - середина стороны AC).
Радиус вписанной окружности треугольника оN = DO = 6.
Радиус описанной окружности треугольника OA = оN / sin 30 = 2 * оN = 12.
Апофема пирамиды DN = sqrt (DO^2 + ON^2) = DO * sqrt 2 = 6 * sqrt 2.
Площадь боковой поверхности пирамиды = (AB + BC + AC) / 2 * DN = 3 * AC / 2 * DN = 3 * AN * DN = 3 * (оN * sqrt 3) * DN = 3 * 6 * sqrt 3 * 6 * sqrt 2 = 108 * sqrt 6.
Объём пирамиды = 1/3 * (BN * AC / 2) * DO = 1/3 * ((OB + ON) * AN) * DO = 1/3 * ((3*6) * (6 * sqrt 3)) * 6 = 216 * sqrt 3.
Рассмотрим четырехугольник ABCD; Пусть в нем диагональ AC зафиксирована, то есть имеет постоянную длину. Минимальная полусумма диагоналей получается тогда, когда вторая диагональ имеет нулевую длину. В таком случае точка B переходит в точку D. Рассмотрим отрезок MN - тот, что соединяет середины сторон BC и AD. Он сместился в точку M', причем MN ║ BD, поскольку B сместилась в D. Точка N осталась на прежнем месте. Получили треугольник ACD в котором M'N - средняя линия. Поэтому
, но мы рассматриваем четырехугольник, никакие две вершины которого не лежат друг на друге. Значит, в остальных случаях 