Question

4-6 задача, теорема синусов

Answer 1

Теорема синусов гласит, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, то есть:

$\frac{a}{ \sin(A) } = \frac{b}{ \sin(B) } = \frac{c}{ \sin(C) } = 2R$

В нашем случае a=BC, b=AC, c=AB, а R — радиус описанной окружности.

4.

BC=6√3, AB=6√2, ∠A=60°

$\frac{6 \sqrt{3} }{ \sin(60°) } = \frac{6 \sqrt{2} }{ \sin(c) }$

$\frac{6 \sqrt{3} }{ \frac{ \sqrt{3} }{2} } = \frac{6 \sqrt{2} }{ \sin(c) } \\ \\ 6 \times 2 = \frac{6 \sqrt{2} }{ \sin(c) } \\ \\ \frac{6 \sqrt{2} }{ \sin(c) } = 12 \\ \\ \sin(c) = \frac{6 \sqrt{2} }{12} \\ \\ \sin(c) = \frac{ \sqrt{2} }{2}$

Угол C может быть 45° или 135° (по таблице синусов), но так как у треугольника сумма внутренних углов 180°, а 135°+60°=195°, что уже больше 180°, поэтому угол С равен 45°. А еще по условию треугольник остроугольный, а 135° — тупой угол.

5.

BC=4√3, A=60°. R-?

$R = \frac{4 \sqrt{3} }{2 \times \sin(60°) } = \frac{4 \sqrt{3} }{2 \times \frac{ \sqrt{3} }{2} } = 4 \sqrt{3} \times \frac{2}{2 \sqrt{3} } = 2 \times 2 = 4$

Радиус описанной окружности 4.

6.

R=14, A=30°, BC-?

$a = 14 \times 2 \times \sin(30°) \\ a = 14 \times 2 \times \frac{1}{2} \\ a = 14$

BC=14