Дана правильная четырехугольная пирамида SАВСД, длина бокового ребра которой равна L = 3 см, а стороны основания a = 2√3 см.
Проведём осевое сечение через 2 боковых ребра.
В сечении равнобедренный треугольник АSС с боковыми сторонами L = 3 см и основанием - диагональ квадрата основания d = a√2 = (2√3)*√3 = 2√6 см.
Высота Н пирамиды равна:
Н = √(L² - (d/2)²) = √(9 - 6) = √3 см.
Перпендикуляр из центра основания пирамиды на боковое ребро (пусть это ОК) - это высота треугольника ОSС, она равна (√3*√6)/3 = √2 см.
Искомый угол лежит в перпендикулярном сечении к боковому ребру.
В сечении - треугольник ВКД.
Апофема А = √(3² - (2√3/2)²) = √(9 - 6) = √3 см.
КД - высота, она равна 2S/L = (2*((1/2)*2√3*√6))/3 = 2√2 см.
То есть она как гипотенуза треугольника ОКД в 2 раза больше катета ОК, а угол КДО равен 30 градусов.
Отсюда искомый угол ВКД равен 2*60 = 120 градусов.
Объяснение:
Із прямок . ΔABD : BD = √( 6² + 8² ) = √100 = 10 ( см ) .
Позначимо ОВ = х , тоді ОD = 10 - x .
Із прямок . ΔАОВ і ΔAOD : OA² = 6² - x² = 8² - ( 10 - x )² .
Після спрощень 20х = 72 ; х = 3,6 ; ОВ = х = 3,6 см ;
OD = 10 - 3,6 = 6,4 ( см ) .
ΔBCO ∼ ΔDAO за гострим кутом , тому BC/AD = OB/OD ;
BC = ( 8* 3,6 )/6,4 = 4,5 ( см ) .
Із подібності ΔBOC i ΔDOA OC = 2,7 см , а ОА = 7,5 - 2,7 = 4,8 ( см ) .
Всі елементи знайдені .