Question

Дана правильная треугольная пирамида, объем которой равен 432. Боковое ребро этой пирамиды наклонено к плоскости основания под углом 45⁰. Найдите радиус основания конуса, описанного около данной пирамиды.

Answer 1

$R=4\sqrt[6]{243}$

Объяснение:

Основание правильной пирамиды - правильный треугольник. Пусть а - его сторона.

Радиус основания конуса, описанного около пирамиды - радиус окружности, описанной около правильного треугольника.

$R=OA=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}=\dfrac{a}{\sqrt{3}}$

$a=R\sqrt{3}$

ΔSAO:  ∠SOA = 90°,  ∠SAO = 45°,  ⇒ ∠ASO = 45°, треугольник равнобедренный.

h = R.

Объем пирамиды:

$V=\dfrac{1}{3}S_{ABC}\cdot h$

$S_{ABC}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$

$V=\dfrac{1}{3}\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot h=\dfrac{a^2\sqrt{3}\cdot h}{12}$

Учитывая, что

$a=R\sqrt{3}$  и  $h=R$, получим:

$V=\dfrac{(R\sqrt{3})^2\cdot \sqrt{3}\cdot R}{12}=\dfrac{R^2\cdot 3\cdot \sqrt{3}\cdot R}{12}=\dfrac{R^3\sqrt{3}}{4}=432$

$R^3=\dfrac{432\cdot 4}{\sqrt{3}}=\dfrac{432\cdot 4\cdot \sqrt{3}}{3}=576\sqrt{3}$

$R=\sqrt[3]{576\sqrt{3}}=4\sqrt[3]{9\sqrt{3}}=4\sqrt[3]{\sqrt{243}}$

$R=4\sqrt[6]{243}$

Возможно, в условии допущена ошибка: объем пирамиды равен 432√3. Тогда вычисления в конце выглядят проще:

$\dfrac{R^3\sqrt{3}}{4}=432\sqrt{3}$

$R^3=432\cdot 4=1728$

$R=\sqrt[3]{1728}=12$