Заметьте, из знания ответа можно было бы догадаться, поскольку 7^2 + 14^2 = (7√5)^2; Это сразу очевидно на самом деле, потому что все три треугольника ABC, AKC, BKC подобны, и в треугольниках AKC и BKC роль гипотенуз выполняют катеты треугольника ABC. (То есть a^2 + b^2 = c^2; где a, b, c - ГИПОТЕНУЗЫ треугольников BKC; AKC; ABC) В общем случае в прямоугольном треугольнике r = (a + b - c)/2 = с*(a/c + b/c - 1)/2; в этих трех треугольниках a/c и b/c - одинаковые (обращаю внимание, что a, b, c, означают тут НЕ ТО, то в первом пункте, а просто катеты и гипотенузу любого треугольника) То есть r = k*c; c одним и тем же числом k; (на самом деле это верно для любых подобных треугольников, но в данном случае доказательство не требует никаких усилий). Если собирать оба утверждения вместе, получится r^2 = r1^2 + r2^2;
Радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 5. Сторона AB=5, высота BD=4. Найдите длину стороны BC. ------------- Треугольник АВС вписан в окружность. Сторона АВ=5 и равна радиусу этой окружности, который равен 5. Соединив центр О окружности с концами хорды АВ, получим равносторонний треугольник АОВ. Угол АОВ=60º Вписанный угол ВСА равен половине центрального. опирающегося на дугу АВ. Угол АСВ=30º ∆ ВСD- прямоугольный по условию, ВD- высота и равна 4 Катет BD противолежит углу 30º, ⇒ гипотенуза ВС треугольника ВСD равна 4*2=8.
7^2 + 14^2 = (7√5)^2;
Это сразу очевидно на самом деле, потому что все три треугольника ABC, AKC, BKC подобны, и в треугольниках AKC и BKC роль гипотенуз выполняют катеты треугольника ABC.
(То есть a^2 + b^2 = c^2; где a, b, c - ГИПОТЕНУЗЫ треугольников BKC; AKC; ABC)
В общем случае в прямоугольном треугольнике
r = (a + b - c)/2 = с*(a/c + b/c - 1)/2; в этих трех треугольниках a/c и b/c - одинаковые (обращаю внимание, что a, b, c, означают тут НЕ ТО, то в первом пункте, а просто катеты и гипотенузу любого треугольника)
То есть r = k*c; c одним и тем же числом k; (на самом деле это верно для любых подобных треугольников, но в данном случае доказательство не требует никаких усилий).
Если собирать оба утверждения вместе, получится
r^2 = r1^2 + r2^2;