Question

Даны точки A(1;−2;1),B(−2;4;−1),C(6;−5;9),D(4;7;m). Найдите наибольшее значение параметра m, при котором объём параллелепипеда, построенного на векторах AB→,AC→,AD→ равен

Answer 1

Для решения данной задачи, нам необходимо воспользоваться формулой для вычисления объема параллелепипеда по векторам:

V = |AB→ · (AC→ x AD→)|,

где |AB→| - длина вектора AB→,
|AC→ x AD→| - длина векторного произведения векторов AC→ и AD→.

Шаг 1: Найдем векторы AB→, AC→ и AD→.

AB→ = B - A = (-2 - 1, 4 - (-2), -1 - 1) = (-3, 6, -2),
AC→ = C - A = (6 - 1, -5 - (-2), 9 - 1) = (5, -3, 8),
AD→ = D - A = (4 - 1, 7 - (-2), m - 1) = (3, 9, m - 1).

Шаг 2: Вычислим длины векторов |AB→|, |AC→| и |AD→|.

|AB→| = √((-3)^2 + 6^2 + (-2)^2) = √(9 + 36 + 4) = √49 = 7,
|AC→| = √(5^2 + (-3)^2 + 8^2) = √(25 + 9 + 64) = √98 = 7√2,
|AD→| = √(3^2 + 9^2 + (m - 1)^2) = √(9 + 81 + (m - 1)^2) = √(90 + (m - 1)^2).

Шаг 3: Вычислим векторное произведение векторов AC→ и AD→.

AC→ x AD→ = (5, -3, 8) x (3, 9, m - 1) = (-35 + (m - 1) + 27, 8(3) - 8(m - 1), 3(-9) - 9(3)) = (m - 9, 24 - 8m + 8, -27 - 27) = (m - 9, -8m + 32, -54).

Шаг 4: Вычислим длину векторного произведения |AC→ x AD→|.

|AC→ x AD→| = √((m - 9)^2 + (-8m + 32)^2 + (-54)^2) = √((m - 9)^2 + (64m^2 - 512m + 1024) + 2916) = √(64m^2 - 576m + m^2 - 18m + 1936 + 2916) = √(65m^2 - 594m + 4852).

Шаг 5: Подставим найденные значения в формулу для объема параллелепипеда и приравняем ее к искомому значению V.

V = |AB→ · (AC→ x AD→)| = 7 * |AC→ x AD→| = 7 * √(65m^2 - 594m + 4852).

Итак, объем параллелепипеда будет равен искомому значению V, если 7 * √(65m^2 - 594m + 4852) = V.

Теперь, чтобы найти наибольшее значение параметра m, при котором объем параллелепипеда равен V, мы должны решить данное уравнение относительно m:

7 * √(65m^2 - 594m + 4852) = V.

Максимальное значение параметра m будет найдено, когда выражение 65m^2 - 594m + 4852 будет максимальным, и это произойдет при максимальном значении этого выражения. Для этого мы можем воспользоваться методом дифференцирования.

Итак, продифференцируем выражение 65m^2 - 594m + 4852 по m:

d(65m^2 - 594m + 4852)/dm = 0,
130m - 594 = 0,
130m = 594,
m = 594/130,
m ≈ 4.569.

Таким образом, наибольшее значение параметра m, при котором объем параллелепипеда равен V, будет примерно равно 4.569.