Question

На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены соответственно точки M и K так, что AM=3BM, CK=3BK Найдите KM если AC = 20

Answer 1

Давайте рассмотрим данную задачу пошагово:

1. Задача говорит нам, что на сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены точки M и K так, что AM = 3BM и CK = 3BK.

2. Мы также знаем, что AC = 20. Давайте обратимся к этой информации, чтобы найти дополнительные данные о треугольнике.

3. Рассмотрим отношение длины AM к длине AB. По условию AM = 3BM, что означает, что длина AM в 3 раза больше, чем длина BM. Мы можем записать это отношение в виде AM/AB = 1/4 (так как AM = BM + AM, а BM = 1/4 AB).

4. Аналогично, рассмотрим отношение длины CK к длине BC. По условию CK = 3BK, что означает, что длина CK в 3 раза больше, чем длина BK. Мы можем записать это отношение в виде CK/BC = 1/4 (так как CK = BK + CK, а BK = 1/4 BC).

5. Теперь давайте посмотрим на отношение длины AM к длине CK. По условию, AM = 3BM и CK = 3BK. Подставим значения BM и BK из предыдущих отношений: AM = 3(1/4 AB) и CK = 3(1/4 BC). Теперь мы можем записать это отношение в виде AM/CK = 3/3 или AM/CK = 1/1.

6. Из предыдущего шага мы получили, что AM/CK = 1/1. Но мы также знаем, что AC = 20. Это означает, что AM + CK = AC. Подставим значения AM и CK: AM + CK = 1/4 AB + 1/4 BC = (AB + BC)/4.

7. Теперь мы можем записать уравнение: (AB + BC)/4 = AC = 20. Решим это уравнение для AB + BC: AB + BC = 4 * 20 = 80.

8. Так как AB + BC = 80 и AM + CK = AB + BC, мы можем сделать вывод, что AM + CK = 80.

9. Возвращаясь к отношению AM/CK = 1/1, мы можем заметить, что сумма AM и CK, равная 80, делится поровну на AM и CK. Таким образом, AM = CK = 80/2 = 40.

10. Так как AM = CM, мы можем заключить, что треугольник ACM является равнобедренным, и AM является биссектрисой угла ACB.

11. Нам нужно найти KM. Поскольку AM является биссектрисой, то точка K делит сторону AC на две равные части, и KM = KC/2.

12. Так как CK = 40, KM = 40/2 = 20.

Таким образом, мы нашли, что KM = 20.