Найти все точки плоскости 2x + 3y - z + 6 =0, равноудаленные от координатных плоскостей.
Координатные плоскости, проходящие через пары координатных осей, разбивают пространство на 8 октантов.
Точки, равноудаленные от координатных плоскостей, лежат на прямых, проходящих через начало координат и направляющий вектор которых имеет равные величины модулей координат по осям.
Таких прямых всего 4, проходящих по диагонали через 2 октанта.
Примем единичные знамения модуля координат по осям.
1) Для I и VII октантов – (1; 1; 1),
2) для III и V октантов – (1; 1; -1),
3) для IV и VI октантов – (1; -1; 1),
4) для II и VIII октантов – (1; -1; -1).
Составим параметрические уравнения такой прямой:
1) (x/1) = (y/1) = (z/1) = t.
Отсюда имеем x = y = z = t.
Подставим в уравнение плоскости.
2t + 3t - t + 6 =0, 4t = -6, t = -6/4 = -3/2.
Получаем первую точку А((-3/2); (-3/2); (-3/2)).
2) 1) (x/1) = (y/1) = (z/(-1)) = t.
Отсюда имеем x = y = t, z = -t
Подставим в уравнение плоскости.
2t + 3t – (-t) + 6 =0, 6t = -6, t = -6/6 = -1.
Получаем вторую точку В(-1; -1; 1).
3) 1) (x/1) = (y/(-1)) = (z/1) = t.
Отсюда имеем x = z = t. y = -t.
Подставим в уравнение плоскости.
2t + 3(-t) - t + 6 =0, -2t = -6, t = -6/(-2) = 3.
Получаем третью точку С(3; (-3); 3).
4) 1) (x/1) = (y/1) = (z/1) = t.
Отсюда имеем x = t. y = z = -t.
Подставим в уравнение плоскости.
2t + 3(-t) – (-t) + 6 =0, 0t = -6, t = 0.
Эта прямая не пересекает плоскость – она параллельна ей.
Для этого варианта прилагается рисунок для наглядности.
Прежде всего, ромб - частный случай квадрата, у ромба также равны все стороны, но углы не по 90 градусов. Проведем диагонали: AC и BD, они пересекаются в точке O, под углом 90 градусов. Наш ромб разделился на 4 равных треугольника (по свойству диагоналей в ромбе). Рассмотрим один из них, например: ABO. Угол AOB равен 90 градусам, а угол ABO возьмем за 40 градусов. Сумма углов треугольнике равна 180 градусам, проводим следующее действие: 180-(90+40)=50 градусов, мы нашли угол OAB. Вернемся к ромбу, т.к. угол OAB равен 50 градусам, угол BAD, в ромбе, равен 100 градусам. Диагональ BD делит ромб на 2 равных треугольника: BAD и BCD (значит, углы BAD и BCD равны). Сумма углов в 4-угольнике равна 360 градусам, проведем следующее действие: 360-100*2=160 градусов (осталось на углы ABC и ADC) . Углы OBA и DOE равны, как соответственные (оба по 40 градусов), проведем следующее действие: (160-40*2)/2=40 (углы BOC и AOD, опять же, как соответственные).
В правильной пирамиде в основании лежит правильный треугольник, высота проецируется в центр основания, боковые ребра равны. SA = SB = SC = 2√13 SH = 5 - апофема (высота боковой грани). SO - высота. ОС - проекция наклонной SC на плоскость основания, тогда ∠SCO - угол, который образует боковое ребро с основанием пирамиды. Обозначим его α. Найти надо ctgα.
ΔSHB: по теореме Пифагора НВ = √(SB² - SH²) = √((2√13)² - 5²) = √(52 - 25) = √27 = 3√3 Тогда сторона основания a = AB = BC = AC = 6√3 ОС - радиус окружности, описанной около основания. ОС = а√3/3 = 6√3·√3/3 = 6 ΔSOC: по теореме Пифагора SO = √(SC² - OC²) = √(52 - 36) =√16 = 4 ctgα = OC/SO = 6/4= 3/2
Найти все точки плоскости 2x + 3y - z + 6 =0, равноудаленные от координатных плоскостей.
Координатные плоскости, проходящие через пары координатных осей, разбивают пространство на 8 октантов.
Точки, равноудаленные от координатных плоскостей, лежат на прямых, проходящих через начало координат и направляющий вектор которых имеет равные величины модулей координат по осям.
Таких прямых всего 4, проходящих по диагонали через 2 октанта.
Примем единичные знамения модуля координат по осям.
1) Для I и VII октантов – (1; 1; 1),
2) для III и V октантов – (1; 1; -1),
3) для IV и VI октантов – (1; -1; 1),
4) для II и VIII октантов – (1; -1; -1).
Составим параметрические уравнения такой прямой:
1) (x/1) = (y/1) = (z/1) = t.
Отсюда имеем x = y = z = t.
Подставим в уравнение плоскости.
2t + 3t - t + 6 =0, 4t = -6, t = -6/4 = -3/2.
Получаем первую точку А((-3/2); (-3/2); (-3/2)).
2) 1) (x/1) = (y/1) = (z/(-1)) = t.
Отсюда имеем x = y = t, z = -t
Подставим в уравнение плоскости.
2t + 3t – (-t) + 6 =0, 6t = -6, t = -6/6 = -1.
Получаем вторую точку В(-1; -1; 1).
3) 1) (x/1) = (y/(-1)) = (z/1) = t.
Отсюда имеем x = z = t. y = -t.
Подставим в уравнение плоскости.
2t + 3(-t) - t + 6 =0, -2t = -6, t = -6/(-2) = 3.
Получаем третью точку С(3; (-3); 3).
4) 1) (x/1) = (y/1) = (z/1) = t.
Отсюда имеем x = t. y = z = -t.
Подставим в уравнение плоскости.
2t + 3(-t) – (-t) + 6 =0, 0t = -6, t = 0.
Эта прямая не пересекает плоскость – она параллельна ей.
Для этого варианта прилагается рисунок для наглядности.