В каком отношении делит объём куба плоскость, которая перпендикулярна его диагонали и делит эту диагональ в отношении 3 : 1? (Найти отношение объёма большей части к меньшей).
На основании свойства касательных из одной точки к окружности обозначим катеты 3+r и 4+r. По Пифагору (3+r)² + (4+r)² = 7². 9+6r+r²+16+8r+r² = 49. 2r² + 14r - 24 = 0 сократим на 2: r² + 7r - 12 = 0. Квадратное уравнение, решаем относительно r: Ищем дискриминант: D=7^2-4*1*(-12)=49-4*(-12)=49-(-4*12)=49-(-48)=49+48=97; Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: r_1=(√97-7)/(2*1)=√97/2-7/2=√97/2-3,5 ≈ 1,42443; r_2=(-√97-7)/(2*1)=-√97/2-7/2=-√97/2-3,5 ≈ -8,42443 отрицательное значение не принимаем. Катеты равны 3+1,42443 = 4,42443 и 4+1,42443 = 5,42443. Теперь находим искомую площадь треугольника: S = (1/2)*4,42443*5,42443 = 12 см².
РА=РВ=РС=6 см
1. Рассмотрим Δ АОР - прямоугольный.
АО²+РО²=РА² - (по теореме Пифагора)
АО = √(РА²-РО²) = √(6² - (√13)²) = √(36-13) = √23 (см)
2. АО является радиусом описанной окружности.
R=(a√3) / 3
a= (3R) / √3 = (3√23)/√3 = √69 (см) - это длина стороны основы.
3. Находим периметр основы.
Р=3а
Р=3√69 см
4. Проводим РМ - апофему и находим ее.
Рассмотрим Δ АМР - прямоугольный.
АМ=0,5АВ=0,5√69 см
АМ²+РМ²=РА² - (по теореме Пифагора)
РМ = √(РА²-АМ²) = √(6² - (0,5√69)²) = √(36-17,25) = √18,75 = 2,5√3 (см)
5. Находим площадь боковой поверхности пирамиды.
Р = 1/2 Р₀l
Р = 1/2 · 3√69 · 2,5√3 = 3,75√207 = 3,75·3√23 = 11,25√23 (см²)
ответ. 11,25 √23 см².