Question

с задачей, очень важная контрольная,

Answer 1

1. $BC=\dfrac{128}{15}$

2. $CO=\dfrac{1024}{255},AO=\dfrac{240}{17}\\BO=\dfrac{128}{17},DO=\dfrac{450}{17}$

Объяснение:

1. Отложим от точки B отрезок BE такой, что он лежит на прямой, параллельной AC, а точка E лежит на прямой AD (то есть выполним параллельный перенос отрезка AC на вектор CB). Поскольку EA || BC как прямые, содержащие основания трапеции, а AC || BE по построению, то AEBC — параллелограмм, откуда BC = EA. Поскольку углы ∠AOD и ∠EBD соответственные при параллельных прямых AC и EB, то они равны, а значит, EB ⊥ BD. Но BA ⊥ ED по условию, значит, в прямоугольном ΔEBD BA — высота, опущенная из прямого угла. Тогда $BA^2=EA\cdot AD\Leftrightarrow BA^2=BC\cdot AD\Leftrightarrow BC=\dfrac{AB^2}{AD}=\dfrac{16^2}{30}=\dfrac{128}{15}$.

2. В прямоугольном ΔABD $BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{16^2+30^2}=34$. В прямоугольном ΔABC $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{16^2+\left(\dfrac{128}{15}\right)^2}=\dfrac{272}{15}$. AO — высота, опущенная из прямого угла, $AO=\dfrac{AB\cdot AD}{BD}=\dfrac{16\cdot 30}{34}=\dfrac{240}{17}\Rightarrow CO=AC-AO=\dfrac{272}{15}-\dfrac{240}{17}=\dfrac{1024}{255}$. Аналогично $BO=\dfrac{AB\cdot BC}{AC}=\dfrac{16\cdot\dfrac{128}{15}}{\dfrac{272}{15}}=\dfrac{128}{17}\Rightarrow DO=BD-BO=34-\dfrac{128}{17}=\dfrac{450}{17}$.