1. Определите координаты центра сферы и радиус, если дано уравнение сферы: x^2-4x+y^2+z^2-4z-1=0
Центр О(_; _; _)
Радиус R= _ (при необходимости ответ округли до тысячных).
2. Напиши уравнение сферы, если известны координаты центра О (2;0;-2) и координаты точки В (3;2;0), которая находится в сфере
Из данного уравнения сферы, x^2-4x+y^2+z^2-4z-1=0, мы видим, что у нас есть квадратные члены только для x и z. Поэтому сначала нужно завершить квадратные члены в уравнении, присоединив к ним некоторые значения, чтобы получить полную квадратную функцию.
Для завершения квадратных членов в x, мы добавляем (4/2)^2 = 4 в обе стороны уравнения:
x^2 - 4x + 4 + y^2 + z^2 - 4z - 1 = 4
Аналогично, для завершения квадратных членов в z, мы добавляем (4/2)^2 = 4 в обе стороны:
x^2 - 4x + 4 + y^2 + z^2 - 4z + 4 - 1 = 4 + 4
Теперь у нас есть полные квадраты для x и z:
(x-2)^2 + y^2 + (z-2)^2 = 8
Сравнивая это с каноническим видом уравнения сферы, мы видим, что центр сферы находится в точке (2, 0, 2), а радиус равен √8, что можно округлить до √8 ≈ 2.828.
Таким образом, координаты центра сферы О равны (2, 0, 2), а радиус R ≈ 2.828.
2. Чтобы найти уравнение сферы, зная координаты центра О(2,0,-2) и координаты точки B(3,2,0), через которую проходит сфера, мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками на трехмерной плоскости.
Уравнение сферы будет иметь вид: (x-h)^2 + (y-k)^2 + (z-l)^2 = R^2, где (h, k, l) - координаты центра сферы и R - радиус.
Используя формулу расстояния, мы можем вычислить радиус R:
R = √((x-h)^2 + (y-k)^2 + (z-l)^2)
Подставив данное уравнение в формулу радиуса, получим:
R = √((3-2)^2 + (2-0)^2 + (0-(-2))^2) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3
Теперь, имея координаты центра О (2,0,-2) и радиус R = 3, мы можем записать уравнение сферы:
(x-2)^2 + (y-0)^2 + (z-(-2))^2 = 3^2
Упрощая это уравнение, получаем окончательный ответ:
(x-2)^2 + y^2 + (z+2)^2 = 9