Нам даны три точки: А(1;8), В(7;8) и С(6;6). Это вершины треугольника АВС, площадь которого необходимо найти. Рещение имеет несколько вариантов, в зависимости от темы, которую Вы проходите. Самый простой вариант: Из трех данных нам точек две (А и В) лежат на прямой, параллельной оси Х (так как координаты Ya и Yb одинаковы). Следовательно, высота треугольника, опущенная из вершины С(6;6) на сторону АВ равна разности координат Yc и Ya или Yb, то есть h=8-6=2. Длина стороны АВ равна разности координат Xb и Xa, то есть |AB| = 7-1 = 6.
Тогда площадь треугольника АВС равна S=(1/2)*AB*h = (1/2)*6*2 =6 ед.
ответ: S= 6 ед².
Давайте, все-таки, проверим по формуле:
S=|(1/2)*[(X1-X2)*(Y2-Y3)-(X2-X3)*(Y1-Y3)]|. В нашем случае:
S=|(1/2)*[(-5)*2 - 1*2] =(1/2)*[-12]| =6 ед. (в ответе берется МОДУЛЬ, то есть положительное значение).
Решить можно и так.
1) уравнение прямой через две точки А и В: y = 8, или в общем виде: ax+by+c=0 при a=0, b=1, c=-8.
2). Расстояние от точки C(6;6) до прямой y=8 находим по формуле:
d= |aXc+bYc+c|/√(a²+b²) = |6-8|/√(0+1) = 2 ед.
|AB| =√((Xb-Xa)²+(Yb-Ya)²) = √(6²+0) = 6.
S= (1/2)*AB*d = (1/2)*6*2 = 6 ед.
Даны координаты вершин треугольника АВС, А(2;-4), В(-2;-1),С(4;1). методами аналитической геометрии:
1) составить уравнение стороны AB;
АВ : Х-Ха = У-Уа
Хв-Ха Ув-Уа
х - 2) / (-4) = (у + 4) / 3.
АВ : 3Х + 4У + 10 = 0
АВ: у = -0,75х - 2,5
2) составить уравнение высоты СН, проведенной из вершины C;
к(СН) = -1/к(АВ) = -1/-0,75 = 4/3.
СН: у = (4/3)х + в. Для определения "в" подставим координаты точки С:
1 = (4/3)*4 + в, в = 1 - (16/3) = -13/3. Тогда СК: у = (4/3)х - (13/3).
3) вычислить длину высоты, проведенной из вершины B;
Расчет длин сторон Квадрат
АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √25 = 5.
BC (а)= √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √40 = 6,32455532
AC (в) = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √29 = 5,385165.
По формуле Герона находим площадь:
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)). Полупериметр р = 16,70972.
Подставив значения величин, находим S = 13 кв.ед.
Можно применить готовую формулу определения площади треугольника по координатам вершин.
S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| = 13 кв.ед.
Тогда высота из точки В равна: 2S/AC = 2*13/√29 = 4,82808.