Question

Докажите, что в трапеции АВСD

$s2 = \frac{s1 + s3}{2}$

Answer 1

${}$  Проведем среднюю линию трапеции; пусть она равна a. Если

        LN = a+b, то KM=a-b; AD=a+3b; BC=a-3b.

Высоты всех трех трапеций одинаковы; пусть они равны  h. Тогда

$S_1=\dfrac{(a-b)+(a-3b)}{2}\cdot h;\ S_2=\dfrac{(a+b)+(a-b)}{2}\cdot h;\ S_3=\dfrac{(a+3b)+(a+b)}{2}\cdot h;$

$S_1+S_3=\dfrac{(a-b)+(a-3b)+(a+3b)+(a+b)}{2}\cdot h=2ah=2S_2,$

что и требовалось доказать.

А еще проще можно рассуждать так. Проведем средние линии m, n и k верхней, средней и нижней трапеций. Очевидно, что средняя линия средней трапеции является также средней линией трапеции, чьими основаниями служат средние линии верхней и нижней трапеций. Остается вспомнить, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований, а также то, что площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту. Поэтому площадь верхней трапеции равна mh, площадь нижней трапеции равна kh, площадь средней трапеции равна

                  $S_2=nh=\dfrac{m+k}{2}\cdot h=\dfrac{mh+kh}{2}=\dfrac{S_1+S_3}{2}.$