Question

найдите длину окружности вписанной в прямоугольный треугольник гипотенуза которого равна 16 а один из острых углов 30

Answer 1

AB=16

∠B=30°

По теореме синусов, стороны пропорциональны синусам противолежащего угла.

$\frac{AB}{ \sin(C) } = \frac {AC} {\sin(B)}$

$\frac{16}{ \sin( {90}^{ \circ} ) } = \frac{AC}{ \sin( {30}^{ \circ} ) }$

$\frac{16}{1} = \frac{AC}{ \frac{1}{2} } \\ AC = \frac{16}{2} \\ AC = 8$

(Ну короче на будущее, катет прямоугольного треугольника лежащий напротив угла 30° равен половине гипотенузы)

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник вычисляется по формуле:

$r = \frac{a + b - c}{2}$

a и b – катеты, c – гипотенуза

a=8

c=16

Найдем b по теореме Пифагора

$b = \sqrt{ {16}^{2} - {8}^{2} } \\ b = \sqrt{256 - 64} \\ b = \sqrt{192} \\ b = 8 \sqrt{3}$

(Еще раз на будущее катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла 60°, в √3 раза больше, чем катет который напротив 30°)

Теперь найдём радиус:

$r = \frac{8 + 8 \sqrt{3} - 16 }{2} = \frac{ - 8 + 8 \sqrt{3} }{2} = - 4 + 4 \sqrt{3}$

Длина окружности:

L=2πr

$L = 2\pi \times ( - 4 + 4 \sqrt{3} ) = (- 8 + 8 \sqrt{3} )\pi$

Можно дальше скобки раскрыть, если понадобится.

$- 8\pi + 8 \sqrt{3} \pi$

Но я думаю это необязательно

Answer 2

≈6π ед.

Объяснение:

Дано: ΔАВС - прямоугольный, ∠С=90°,  ∠В=30°,  АВ=16

длина вписанной окружности - ?

АС=1/2 АВ = 16:2=8 ед. по свойству катета, лежащего против угла 30°

По теореме Пифагора

ВС=√(АВ²-АС²)=√(256-64)=√192≈14 ед.

r=(АС+ВС-АВ):2=(8+14-16):2≈3 ед.

с=2πr=2π*3≈6π ед.