Question

Окружность пересекает сторону ab треугольника abc в точках k ,l , сторону bc — в точках m , n, стоpону ac — в точках r,s . известно, что kl=mn=rs=6 ,ab=12 ,bc=16 , угол в=90*. найдите радиус окружности.

Answer 1

Найдем длины отрезков $BL;MB;AS;AK;CR;CN$ , по теореме о секущей 
$BL(BL+6)=BM(BM+6)\\ AK(AK+6)=AS(AS+6)\\ CN(CN+6)=CR(CR+6)$
это же соотношение можно записать в виде 
$(6-BL)(12-BL)=AS(AS+6)\\ (10-BM)(16-BM)=(12-AS)(20-AS)\\ BL(BL+6)=BM(BM+6)$
Решим систему , сделаем замену для  удобство 
$BL=x\\ BM=y\\ AS=z\\ \\ (6-x)(12-x)=z(z+6)\\ (10-y)(16-y)=(12-z)(20-z)\\ x(x+6)=y(y+6)$

$x(x+6)=y(y+6)\\ (6-x)(12-x)=z*(20+z)\\ (10-y)(16-y)=(14-z)(20-z)\\ \\ x^2-y^2=6y-6x\\ -z^2-20z+x^2-18x+72=0\\ (4+y-z)(z+y-30)=0$

подходит вариант 
$z+y=30$
подставляя получаем уравнение 
$x^2-y^2=6y-6x\\ -(30-y)^2-20(30-y)+x^2-18x+72=0 \\ \\$

решая обычным получаем решения 
 $x=y = \frac{737}{31}\\ z=\frac{216}{31}\\ \\$

Теперь впишем наш треугольник на плоскость $Oxy$ , так что бы угол $90а$ совпадал с началом координат , тогда как показана на рисунку получим 
$BL=BM=\frac{737}{31}\\$
$AS=\frac{216}{31}$ 

$M(\frac{737}{31}; 0)\\ L(0; \frac{737}{31})\\ N(\frac{923}{31};0)\\ K(0;\frac{923}{31}) \\$
пусть центр радиус координаты с точками  $x;y$ то 
$x^2+(y-(737/31))^2=x^2+(y-(923/31))^2 \\ y=26\frac{24}{31}\\ x=26\frac{24}{31}\\ R=\sqrt{(26\frac{24}{31})^2+(26\frac{24}{31}-\frac{737}{31})^2}$