Теорема о пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника
В пункте 46 мы доказали, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Оказывается, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника также пересекаются в одной точке.
Теорема. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
Доказательство. Обозначим буквой O точку пересечения серединных перпендикуляров c и a к сторонам AB и BC треугольника ABC (рис. 33). Докажем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к стороне AC.
По теореме о серединном перпендикуляре к отрезку OA = OB и OB = OC, поэтому OA = OC. Таким образом, точка O равноудалена от концов отрезка AC и, следовательно, лежит на серединном перпендикуляре b к этому отрезку. Итак, все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника ABC пересекаются в точке O, и эта точка равноудалена от вершин A, B и C. Теорема доказана.
Замечание. Мы начали доказательство теоремы с того, что обозначили буквой O точку пересечения серединных перпендикуляров c и a к сторонам AB и BC. А верно ли, что прямые a и c пересекаются? Докажем, что это верно.
Проведем через точку B прямые p и q, что p ⊥ AB и q ⊥ BC (рис. 34). Поскольку прямые p и c перпендикулярны к прямой AB, то p || c.
Аналогично доказывается, что q || a. Прямая p пересекает прямую q (в точке B), поэтому она пересекает и параллельную ей прямую a (см. рис. 34); прямая a пересекает прямую p, поэтому она пересекает и параллельную ей прямую c. Итак, прямая a пересекает прямую c, что и требовалось доказать.
Объяснение:
№ 3 - ответ: Б 16 см
№ 4 - ответ: Б 8 см
№ 5 - ответ: В 12 см
Объяснение:
Задание № 3.
3. Осевым сечением цилиндра является квадрат. Площадь основания цилиндра равна 64π см2 . Найдите высоту цилиндра.
А 12 см
Б 16 см
В 6π см
Г 9 см
Д 6 см
Решение.
Так как площадь основания цилиндра равна πR²= 64π, то R² = 64, R=√64=8 см.
Диаметр цилиндра = 2R = 8·2 = 16 cм.
Т.к. сечение является квадратом, то высота равна диаметру основания = 16 см.
ответ: Б 16 см.
Задание № 4.
4.Высота конуса равна 6 см, а его образующая – 10 см. Найдите радиус основания конуса.
А 6 см
Б 8 см
В 10 см
Г 12 см
Д 14 см
Решение.
R = √(10² - 6²) = √(100-36) = √ 64= 8 см.
ответ: Б 8 см.
Задание № 5.
5. Образующая конуса равна 13 см, а площадь его основания - 25π см2. Чему равна высота конуса?
А 10 см
Б 13 см
В 12 см
Г 15 CM
Д 14 см
Решение.
Так как площадь основания равна πR² = 25π, то R = √25 = 5.
Следовательно, высота конуса равна:
√ (13² -5²) = √(169-25) = √144 = 12 см
ответ: В 12 см.