• Известно что в треугольнике ABC сторона AB = 4, BC = 9, угол С = 30°. Найти синус угла А. • Произведение сторон треугольника равно 240, а радиус описанной окружности равен 2,5 см. Вычислите площадь данного треугольника.
Первая окружность построена на AB, как на диаметре, а вторая — на BC. Прямая, проходящая через точку A, повторно пересекает первую окружность в точке D и касается второй окружности в точке E, BD=25, BE=30. Найдите радиус меньшей из окружностей, если точки A, B и C лежат на одной прямой ------------ В условии не указано, каким образом окружности касаются - внутренним или внешним Внутреннее касание. ВD=25, ВЕ=30. О - центр меньшей окружности. Угол АDВ =90º - опирается на диаметр. угол ОЕD -=90º - радиус в точку касания. Проведем ОК||ЕD ЕDКО - прямоугольник. DК=ЕО= r ОК=ЕD=√(BE²-OE²)=√(900-625) Рассмотрим ∆ ОВК ОВ=r, ВК=DВ-DК=25-r По т.Пифагора OB²-BK²=OK² r ²-(25-r)²=900-625 r² - (625- 50r+r²)=900-625 50r=900 r=18 ------ Внешнее касание. ДЕ²=ВЕ²-ВД² ВК=ДЕ ВК²=ДЕ²=900-625 ВО=ЕО=r ОК=r-25 ВК²=ВО²-ОК² 900-625=r²-(r-25)² 900-625=r²-r²+50r-625⇒ r =18 Но r не может быть 18, если ЕК=25. Вывод: касание окружностей - внутреннее. Возможно, именно для выяснения касания условие дано в таком странном виде, если это не ошибка автора вопроса. В приложении даны рисунки к обоим касания.
В четырехугольнике ABCD биссектриса угла А перпендикулярна биссектрисе угла В. Биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке М, а биссектриса угла В сторону AD в точке N. Докажите , что ABMN - ромб -------- В ∆ АВN биссектриса АО перпендикулярна BN. ⇒, АО - его высота и медиана, и этот треугольник равнобедренный. АВ=AN В ∆ АВМ - биссектриса ВО перпендикулярна АМ. ⇒ ∆ АВМ - равнобедренный. АВ=ВМ. Но АВ=AN, значит, АN=BM На том же основании АN=MN. В четырехугольнике АВМN все стороны равны, диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов. ⇒ АВМN - ромб, ч.т.д.
В условии не указано, каким образом окружности касаются - внутренним или внешним
Внутреннее касание.
ВD=25, ВЕ=30.
О - центр меньшей окружности.
Угол АDВ =90º - опирается на диаметр.
угол ОЕD -=90º - радиус в точку касания.
Проведем ОК||ЕD
ЕDКО - прямоугольник.
DК=ЕО= r
ОК=ЕD=√(BE²-OE²)=√(900-625)
Рассмотрим ∆ ОВК ОВ=r,
ВК=DВ-DК=25-r
По т.Пифагора
OB²-BK²=OK²
r ²-(25-r)²=900-625
r² - (625- 50r+r²)=900-625
50r=900
r=18
------
Внешнее касание.
ДЕ²=ВЕ²-ВД²
ВК=ДЕ
ВК²=ДЕ²=900-625
ВО=ЕО=r
ОК=r-25
ВК²=ВО²-ОК²
900-625=r²-(r-25)²
900-625=r²-r²+50r-625⇒
r =18
Но r не может быть 18, если ЕК=25.
Вывод: касание окружностей - внутреннее. Возможно, именно для выяснения касания условие дано в таком странном виде, если это не ошибка автора вопроса.
В приложении даны рисунки к обоим касания.