10 см
Объяснение:
Дано: ΔАВС - прямоугольный, ∠С=90°, ВD - медиана, BD=2√13 cм, АС=8 см. АВ - ?
Если в условии дана медиана треугольника, я решаю задачу, достроив треугольник до параллелограмма. Теорема об удвоении медианы:
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.
Продлеваем медиану на такую же длину и строим параллелограмм АВСК, где диагональ АС=8 см, диагональ ВК=2√13+2√13=4√13 см.
Тогда АС²+ВК²=2(АВ²+ВС²).
208+64=2(АВ²+ВС²)
272=2(АВ²+ВС²)
АВ²+ВС²=136.
Вернемся к ΔАВС. По теореме Пифагора
АВ²+ВС²=136
АВ²-ВС²=64 (т.е. АС²)
2АВ² = 200; АВ²=100; АВ=10 см.
Тут главное разобраться что есть, что
ABCD- прямоугольная трапеция где ∠A=45° AD,BC - основания ⇒
BC=12√2- как меньшее основание, AD-большее основания, CD- меньшая боковая сторона с углами ∠С=∠D=90° при основаниях
АВ-большая боковая сторона
Для решения решения задачи опустим высоту BH на большее основание AD⇒∠BHA=∠BHD=90° ⇒ Получим прямоугольник BCDH т.к ∠C=∠D=90° по условию ABCD- прямоугольная трапеция и ∠BHD=90° ⇒
BC=HD=12√2. ∠BHD=90° ⇒ΔBDH - прямоугольный тогда по теореме Пифагора BD²=HD²+BH²
BH=√(BD²-HD²)=√(18²-(12√2)²)=√36=6
∠BHA=90°⇒ΔBHA- прямоугольный треугольник, где AB- гипотенуза, BH- противолежащий катет к углу ∠A=45°
тогда по определению синуса⇒sin∠B=BH/AB
AB=BH/sin∠B=6÷sin45°=6÷√2/2=6√2