Question

Визначте радіус кола, визначеного рівнянням x² + y²+4x-6y-3=0

Answer 1

Определить радиус окружности, определённой уравнением x^2+y^2-4x-6y-3=0.

ответ:

Радиус окружности равен 4 условных единицы.

Объяснение:

Для начала вспомним общий вид уравнения окружности:

$\Large \boldsymbol {} \text{ $ \boldsymbol{\sf \star \ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2}$ \boldsymbol}$

где (x₀;y₀) - координаты центра окружности, r - её радиус.

Мы имеем уравнение окружности. Чтобы найти радиус, нам нужно сделать два полных квадрата в этом уравнении по формулам квадратов разности либо суммы:

$\Large \boldsymbol {} \text{ $ \boldsymbol{\sf \star \ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$ \boldsymbol} \text{ $ \boldsymbol{\sf \star \ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$ \boldsymbo}$

Распишем уравнение окружности по этим формулам:

$\Large \boldsymbol {} (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2x^2-2xx_0+(x_0)^2+y^2-2yy_0+(y_0)^2=r^2$

В нашей формуле окружности мы имеем x^2 и y^2, а так же 4x и (-6у). Не сложно догадаться, что (-4х) это и есть то самое (-2хх₀), а (-6у) это (-2уу₀). Отсюда находим координаты середины окружности:

$\Large \boldsymbol {} -2yy_0=-6y \Longrightarrow y_0=3-2xx_0=4x \Longrightarrow x_0=(-2)$

Мы нашли координаты центра нашей окружности - (-2;3).

Теперь нам нужно сделать так, чтобы в нашем уравнении окружности было всё, чтобы сделать там полные квадраты - (х+2)^2 и (y-3)^2.

$\Large \boldsymbol {} x^2+y^2+4x-6y-3=0 x^2+y^2+4x-6y+4-4+9-9=3(\underset{a^2}{\underbrace{x^2}}-\underset{2ab}{\underbrace{2*(-2)*x}}+\underset{b^2}{\underbrace{(-2)^2}})+(\underset{a^2}{\underbrace{y^2}}-\underset{2ab}{\underbrace{2*3*y}}+\underset{b^2}{\underbrace{3^2}})--4-9-3=0(x-(-2))^2+(y-3)^2=16(x+2)^2+(y-3)^2=4^2$

Мы преобразовали наше уравнение окружности. Его центр, как мы уже определили - (-2;3), а радиус - 4.