Question

У півкруг радіуса 2 см вписана трапеція, периметр якоï 10 см. Знайти площу трапеції, якщо її більша основа діаметр півкруга.

Answer 1

$3\sqrt{3}$

Объяснение:

Пусть $ABCD$ — данная трапеция, $O$ — центр полуокружности и середина основания $AD.$ Тогда $OA = OB = OC = OD = 2$ см. Пусть верхнее основание $BC = x.$ Опустим из вершин $B$ и $C$ высоты на нижнее основание $BH$ и $CK.$

$AH = KD = \frac{{AD - BC}}{2} = \frac{{4 - x}}{2},$$HO = OK = \frac{x}{2}.$ Так как периметр трапеции $10$ см, то $AB = CD = \frac{{6 - x}}{2}.$

По теореме Пифагора из треугольника $AHB$$B{H^2} = A{B^2} - A{H^2} = {\left( {\frac{{6 - x}}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{{4 - x}}{2}} \right)^2} = 5 - x,$ а из треугольника $BHO$$B{H^2} = B{O^2} - H{O^2} = {2^2} - {\left( {\frac{x}{2}} \right)^2} = 4 - \frac{{{x^2}}}{4},$ откуда

$5 - x = 4 - \frac{{{x^2}}}{4},\\{x^2} - 4x + 4 = 0,\\{(x - 2)^2} = 0,\\x = 2.$

Тогда высота трапеции $BH = \sqrt {4 - 1} = \sqrt 3$ см, а ее площадь $S = \frac{{2 + 4}}{2} \cdot \sqrt 3 = 3\sqrt 3$ см$^{2}.$

Answer 2

Відповідь: задача має декілька розв'язків. Один із таких.