Question

Найти координаты вершин C и D квадрата ABCD , если A(2;1),B(4;0)

Answer 1

Задача имеет два решения:

1) С(5;2), Д(3;3)

2) С(3;-2), Д(1;-1)

Answer 2

$C(5; 2),\, D(3;3)$ или $C(3;-2),\, D(1;-1)$

Объяснение:

Расстояние между двумя точками $A({x_1};\,\,{y_1})$ и $B({x_2};\,\,{y_2})$ находится по формуле $d = \sqrt {{{({x_2} - {x_1})}^2} + {{({y_2} - {y_1})}^2}} .$

Поэтому

$AB = \sqrt {{{(4 - 2)}^2} + {{(0 - 1)}^2}} = \sqrt {4 + 1} = \sqrt 5 .$

Уравнение прямой, проходящей через точки $A({x_1};\,\,{y_1})$ и $B({x_2};\,\,{y_2}),$ имеет вид

$\displaystyle\frac{{x - {x_1}}}{{y - {y_1}}} = \displaystyle\frac{{{x_2} - {x_1}}}{{{y_2} - {y_1}}},$

поэтому уравнение прямой $AB$

$\displaystyle\frac{{x - 2}}{{y - 1}} = \displaystyle\frac{{4 - 2}}{{0 - 1}};$

$\displaystyle\frac{{x - 2}}{{y - 1}} = - 2;$

$y - 1 = - \displaystyle\frac{1}{2}x + 1;$

$y = - \displaystyle\frac{1}{2}x + 2.$

Угловой коэффициент найденной прямой $k = - \displaystyle\frac{1}{2}.$

Так как стороны квадрата перпендикулярны, уравнения прямых, которые их выражают, должны удовлетворять условию перпендикулярности с заданной прямой (для перпендикулярных прямых с угловыми коэффициентами ${k_1}$ и ${k_2}$ выполняется равенство ${k_1}{k_2} = - 1$).

Тогда угловой коэффициент прямых, проходящих перпендикулярно отрезку $AB,$ равен  $- 1:\left( { - \displaystyle\frac{1}{2}} \right) = 2.$

Значит все такие прямые имеют вид $y = 2x + b.$

Подставив координаты точки $A$ в полученное уравнение, найдем

$1 = 2 \cdot 2 + b,$

$b = - 3,$

Значит уравнение прямой, перпендикулярной $AB$ и проходящей через точку $A,$$y = 2x - 3.$

Аналогично подставив координаты точки $B,$ получим

$0 = 2 \cdot 4 + b,$

$b = - 8.$

Значит уравнение прямой, перпендикулярной $AB$ и проходящей через точку $B,$$y = 2x - 8.$

Таким образом, точка $C$ лежит на прямой $y = 2x - 8,$ т. е. ее координаты $({x_0};\,\,2{x_0} - 8).$ А длина стороны $BC = AB = \sqrt 5 .$

Пользуясь формулой расстояния между двумя точками (см. выше), получаем:

$BC = \sqrt {{{({x_0} - 4)}^2} + {{(2{x_0} - 8 - 0)}^2}} = \sqrt 5 ,$

${({x_0} - 4)^2} + 4{({x_0} - 4)^2} = 5,$

$5{({x_0} - 4)^2} = 5,$

${({x_0} - 4)^2} = 1,$

$\left[ \begin{array}{l}{x_0} - 4 = 1,\\{x_0} - 4 = - 1,\end{array} \right.$

$\left[ \begin{array}{l}{x_0} = 5,\\{x_0} = 3.\end{array} \right.$

Вычисляем соответствующие значения y для этих точек: для ${x_0} = 5$${y_0} = 2{x_0} - 8 = 2;$ для ${x_0} = 3$${y_0} = 2{x_0} - 8 = - 2.$

Выходит, два возможных положения точки C — $(5; 2)$ или $(3; -2).$

Проделываем ту же последовательность действий для определения координат точки $D.$ Так как она лежит на прямой $y = 2x - 3,$ то $D({x_0};\,\,2{x_0} - 3).$

$AD = \sqrt {{{({x_0} - 2)}^2} + {{(2{x_0} - 3 - 1)}^2}} = \sqrt 5 ,$

${({x_0} - 2)^2} + 4{({x_0} - 2)^2} = 5,$

${({x_0} - 2)^2} = 1,$

$\left[ \begin{array}{l}{x_0} = 3,\\{x_0} = 1,\end{array} \right.$

тогда для ${x_0} = 3$${y_0} = 2{x_0} - 3 = 3,$ а для ${x_0} = 1$${y_0} = 2{x_0} - 3 = - 1.$ Значит возможные положения точки $D$ — $(3; 3)$ или $(1; -1).$